Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14942 / 6754
↖ ↑ ↗
← N 72.067147°
W 15.842285°		 ← 376.15 m → N 72.067147°
W 15.831299°		 →
↑
376.14 m
↓
↑
376.14 m
↓
N 72.063764°
W 15.842285°		 ← 376.21 m →
141 498 m²		 N 72.063764°
W 15.831299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456008911132812 y=0.206130981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456008911132812 × 215)
    floor (0.456008911132812 × 32768)
    floor (14942.5)     		tx = 14942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206130981445312 × 215)
    floor (0.206130981445312 × 32768)
    floor (6754.5)     		ty = 6754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14942 / 6754 ti = "15/14942/6754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14942/6754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14942 ÷ 215
    14942 ÷ 32768     		x = 0.45599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6754 ÷ 215
    6754 ÷ 32768     		y = 0.20611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27650004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20611572265625 × 2 - 1) × π
    0.5877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84652937336456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27650004} λ = -0.27650004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84652937336456))-π/2
    2×atan(6.3377852221026)-π/2
    2×1.4143026647815-π/2
    2.828605329563-1.57079632675     		φ = 1.25780900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27650004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25780900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.067147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14942 KachelY 6754 -0.27650004 1.25780900 -15.842285 72.067147
    Oben rechts KachelX + 1 14943 KachelY 6754 -0.27630829 1.25780900 -15.831299 72.067147
    Unten links KachelX 14942 KachelY + 1 6755 -0.27650004 1.25774996 -15.842285 72.063764
    Unten rechts KachelX + 1 14943 KachelY + 1 6755 -0.27630829 1.25774996 -15.831299 72.063764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25780900-1.25774996) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dl = 376.143840000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25780900-1.25774996) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dr = 376.143840000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27650004--0.27630829) × cos(1.25780900) × R
    0.000191749999999991 × 0.307902202613888 × 6371000     		do = 376.14541587456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27650004--0.27630829) × cos(1.25774996) × R
    0.000191749999999991 × 0.307958373796655 × 6371000     		du = 376.214036796147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25780900)-sin(1.25774996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307902202613888-0.307958373796655)×R²
    abs(-0.27630829--0.27650004)×5.6171182767295e-05×R²
    0.000191749999999991×5.6171182767295e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.6171182767295e-05×40589641000000     		ar = 141497.68683528m²