Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14942 / 21297
↖ ↑ ↗
← S 47.405785°
W 15.842285°		 ← 826.81 m → S 47.405785°
W 15.831299°		 →
↑
826.70 m
↓
↑
826.70 m
↓
S 47.413220°
W 15.842285°		 ← 826.69 m →
683 474 m²		 S 47.413220°
W 15.831299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456008911132812 y=0.649948120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456008911132812 × 215)
    floor (0.456008911132812 × 32768)
    floor (14942.5)     		tx = 14942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649948120117188 × 215)
    floor (0.649948120117188 × 32768)
    floor (21297.5)     		ty = 21297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14942 / 21297 ti = "15/14942/21297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14942/21297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14942 ÷ 215
    14942 ÷ 32768     		x = 0.45599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21297 ÷ 215
    21297 ÷ 32768     		y = 0.649932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27650004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.29986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.942055951333344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27650004} λ = -0.27650004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942055951333344))-π/2
    2×atan(0.389825548553489)-π/2
    2×0.37170464450405-π/2
    0.743409289008101-1.57079632675     		φ = -0.82738704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27650004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82738704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.405785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14942 KachelY 21297 -0.27650004 -0.82738704 -15.842285 -47.405785
    Oben rechts KachelX + 1 14943 KachelY 21297 -0.27630829 -0.82738704 -15.831299 -47.405785
    Unten links KachelX 14942 KachelY + 1 21298 -0.27650004 -0.82751680 -15.842285 -47.413220
    Unten rechts KachelX + 1 14943 KachelY + 1 21298 -0.27630829 -0.82751680 -15.831299 -47.413220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82738704--0.82751680) × R
    0.00012976000000009 × 6371000     		dl = 826.700960000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82738704--0.82751680) × R
    0.00012976000000009 × 6371000     		dr = 826.700960000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27650004--0.27630829) × cos(-0.82738704) × R
    0.000191749999999991 × 0.676801639156542 × 6371000     		do = 826.807446857928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27650004--0.27630829) × cos(-0.82751680) × R
    0.000191749999999991 × 0.676706108632656 × 6371000     		du = 826.690743020375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82738704)-sin(-0.82751680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676801639156542-0.676706108632656)×R²
    abs(-0.27630829--0.27650004)×9.55305238860005e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55305238860005e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55305238860005e-05×40589641000000     		ar = 683474.271424484m²