Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14942 / 14782
↖ ↑ ↗
← S 80.865854°
E148.315430°		 ← 387.85 m → S 80.865854°
E148.337402°		 →
↑
387.80 m
↓
↑
387.80 m
↓
S 80.869341°
E148.315430°		 ← 387.70 m →
150 382 m²		 S 80.869341°
E148.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912017822265625 y=0.902252197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912017822265625 × 214)
    floor (0.912017822265625 × 16384)
    floor (14942.5)     		tx = 14942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902252197265625 × 214)
    floor (0.902252197265625 × 16384)
    floor (14782.5)     		ty = 14782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14942 / 14782 ti = "14/14942/14782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14942/14782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14942 ÷ 214
    14942 ÷ 16384     		x = 0.9119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14782 ÷ 214
    14782 ÷ 16384     		y = 0.9022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9119873046875 × 2 - 1) × π
    0.823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58859258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58859258} λ = 2.58859258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52723334796936))-π/2
    2×atan(0.0798797142270283)-π/2
    2×0.0797104637303788-π/2
    0.159420927460758-1.57079632675     		φ = -1.41137540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58859258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41137540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.865854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14942 KachelY 14782 2.58859258 -1.41137540 148.315430 -80.865854
    Oben rechts KachelX + 1 14943 KachelY 14782 2.58897607 -1.41137540 148.337402 -80.865854
    Unten links KachelX 14942 KachelY + 1 14783 2.58859258 -1.41143627 148.315430 -80.869341
    Unten rechts KachelX + 1 14943 KachelY + 1 14783 2.58897607 -1.41143627 148.337402 -80.869341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41137540--1.41143627) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dl = 387.80276999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41137540--1.41143627) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dr = 387.80276999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58859258-2.58897607) × cos(-1.41137540) × R
    0.000383490000000375 × 0.158746503067296 × 6371000     		do = 387.851804155177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58859258-2.58897607) × cos(-1.41143627) × R
    0.000383490000000375 × 0.158686404642901 × 6371000     		du = 387.70497079584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41137540)-sin(-1.41143627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158746503067296-0.158686404642901)×R²
    abs(2.58897607-2.58859258)×6.00984243944724e-05×R²
    0.000383490000000375×6.00984243944724e-05×6371000²
    0.000383490000000375×6.00984243944724e-05×40589641000000     		ar = 150381.532856882m²