Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14941 / 7546
↖ ↑ ↗
← N 69.185993°
W 15.853271°		 ← 434.07 m → N 69.185993°
W 15.842285°		 →
↑
434.12 m
↓
↑
434.12 m
↓
N 69.182089°
W 15.853271°		 ← 434.15 m →
188 455 m²		 N 69.182089°
W 15.842285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455978393554688 y=0.230300903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455978393554688 × 215)
    floor (0.455978393554688 × 32768)
    floor (14941.5)     		tx = 14941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230300903320312 × 215)
    floor (0.230300903320312 × 32768)
    floor (7546.5)     		ty = 7546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14941 / 7546 ti = "15/14941/7546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14941/7546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14941 ÷ 215
    14941 ÷ 32768     		x = 0.455963134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7546 ÷ 215
    7546 ÷ 32768     		y = 0.23028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455963134765625 × 2 - 1) × π
    -0.08807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27669178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23028564453125 × 2 - 1) × π
    0.5394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69466527536823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27669178} λ = -0.27669178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69466527536823))-π/2
    2×atan(5.44482314373633)-π/2
    2×1.38915985480406-π/2
    2.77831970960812-1.57079632675     		φ = 1.20752338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27669178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.853271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20752338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.185993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14941 KachelY 7546 -0.27669178 1.20752338 -15.853271 69.185993
    Oben rechts KachelX + 1 14942 KachelY 7546 -0.27650004 1.20752338 -15.842285 69.185993
    Unten links KachelX 14941 KachelY + 1 7547 -0.27669178 1.20745524 -15.853271 69.182089
    Unten rechts KachelX + 1 14942 KachelY + 1 7547 -0.27650004 1.20745524 -15.842285 69.182089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20752338-1.20745524) × R
    6.81399999999943e-05 × 6371000     		dl = 434.119939999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20752338-1.20745524) × R
    6.81399999999943e-05 × 6371000     		dr = 434.119939999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27669178--0.27650004) × cos(1.20752338) × R
    0.000191739999999996 × 0.355335481504743 × 6371000     		do = 434.069132700307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27669178--0.27650004) × cos(1.20745524) × R
    0.000191739999999996 × 0.355399173784205 × 6371000     		du = 434.146937630985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20752338)-sin(1.20745524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355335481504743-0.355399173784205)×R²
    abs(-0.27650004--0.27669178)×6.36922794617356e-05×R²
    0.000191739999999996×6.36922794617356e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.36922794617356e-05×40589641000000     		ar = 188454.954252307m²