Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14941 / 21293
↖ ↑ ↗
← S 47.376035°
W 15.853271°		 ← 827.23 m → S 47.376035°
W 15.842285°		 →
↑
827.21 m
↓
↑
827.21 m
↓
S 47.383474°
W 15.853271°		 ← 827.11 m →
684 246 m²		 S 47.383474°
W 15.842285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455978393554688 y=0.649826049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455978393554688 × 215)
    floor (0.455978393554688 × 32768)
    floor (14941.5)     		tx = 14941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649826049804688 × 215)
    floor (0.649826049804688 × 32768)
    floor (21293.5)     		ty = 21293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14941 / 21293 ti = "15/14941/21293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14941/21293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14941 ÷ 215
    14941 ÷ 32768     		x = 0.455963134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21293 ÷ 215
    21293 ÷ 32768     		y = 0.649810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455963134765625 × 2 - 1) × π
    -0.08807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27669178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.29962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.941288960939423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27669178} λ = -0.27669178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941288960939423))-π/2
    2×atan(0.390124655696024)-π/2
    2×0.371964267959859-π/2
    0.743928535919718-1.57079632675     		φ = -0.82686779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27669178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.853271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82686779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.376035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14941 KachelY 21293 -0.27669178 -0.82686779 -15.853271 -47.376035
    Oben rechts KachelX + 1 14942 KachelY 21293 -0.27650004 -0.82686779 -15.842285 -47.376035
    Unten links KachelX 14941 KachelY + 1 21294 -0.27669178 -0.82699763 -15.853271 -47.383474
    Unten rechts KachelX + 1 14942 KachelY + 1 21294 -0.27650004 -0.82699763 -15.842285 -47.383474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82686779--0.82699763) × R
    0.000129840000000048 × 6371000     		dl = 827.210640000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82686779--0.82699763) × R
    0.000129840000000048 × 6371000     		dr = 827.210640000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27669178--0.27650004) × cos(-0.82686779) × R
    0.000191739999999996 × 0.677183801799395 × 6371000     		do = 827.231168362331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27669178--0.27650004) × cos(-0.82699763) × R
    0.000191739999999996 × 0.677088258014483 × 6371000     		du = 827.114454411683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82686779)-sin(-0.82699763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677183801799395-0.677088258014483)×R²
    abs(-0.27650004--0.27669178)×9.55437849116114e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55437849116114e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55437849116114e-05×40589641000000     		ar = 684246.151659163m²