Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14941 / 16205
↖ ↑ ↗
← N 79.263312°
W138.963318°		 ← 56.90 m → N 79.263312°
W138.960571°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.262800°
W138.963318°		 ← 56.90 m →
3 237 m²		 N 79.262800°
W138.960571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113994598388672 y=0.123638153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113994598388672 × 217)
    floor (0.113994598388672 × 131072)
    floor (14941.5)     		tx = 14941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123638153076172 × 217)
    floor (0.123638153076172 × 131072)
    floor (16205.5)     		ty = 16205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14941 / 16205 ti = "17/14941/16205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14941/16205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14941 ÷ 217
    14941 ÷ 131072     		x = 0.113990783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16205 ÷ 217
    16205 ÷ 131072     		y = 0.123634338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113990783691406 × 2 - 1) × π
    -0.772018432617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.42536744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123634338378906 × 2 - 1) × π
    0.752731323242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36477519515699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42536744} λ = -2.42536744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36477519515699))-π/2
    2×atan(10.6416462549745)-π/2
    2×1.47710104754801-π/2
    2.95420209509602-1.57079632675     		φ = 1.38340577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42536744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.963318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38340577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.263312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14941 KachelY 16205 -2.42536744 1.38340577 -138.963318 79.263312
    Oben rechts KachelX + 1 14942 KachelY 16205 -2.42531950 1.38340577 -138.960571 79.263312
    Unten links KachelX 14941 KachelY + 1 16206 -2.42536744 1.38339684 -138.963318 79.262800
    Unten rechts KachelX + 1 14942 KachelY + 1 16206 -2.42531950 1.38339684 -138.960571 79.262800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38340577-1.38339684) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38340577-1.38339684) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42536744--2.42531950) × cos(1.38340577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186295770617818 × 6371000     		do = 56.89952359978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42536744--2.42531950) × cos(1.38339684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1863045442792 × 6371000     		du = 56.9022033018002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38340577)-sin(1.38339684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186295770617818-0.1863045442792)×R²
    abs(-2.42531950--2.42536744)×8.77366138229974e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77366138229974e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77366138229974e-06×40589641000000     		ar = 3237.26253128805m²