Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14941 / 15909
↖ ↑ ↗
← N 79.413717°
W138.963318°		 ← 56.11 m → N 79.413717°
W138.960571°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.413213°
W138.963318°		 ← 56.11 m →
3 150 m²		 N 79.413213°
W138.960571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113994598388672 y=0.121379852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113994598388672 × 217)
    floor (0.113994598388672 × 131072)
    floor (14941.5)     		tx = 14941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121379852294922 × 217)
    floor (0.121379852294922 × 131072)
    floor (15909.5)     		ty = 15909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14941 / 15909 ti = "17/14941/15909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14941/15909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14941 ÷ 217
    14941 ÷ 131072     		x = 0.113990783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15909 ÷ 217
    15909 ÷ 131072     		y = 0.121376037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113990783691406 × 2 - 1) × π
    -0.772018432617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.42536744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121376037597656 × 2 - 1) × π
    0.757247924804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.37896451744453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42536744} λ = -2.42536744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37896451744453))-π/2
    2×atan(10.7937203661419)-π/2
    2×1.47841358118111-π/2
    2.95682716236222-1.57079632675     		φ = 1.38603084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42536744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.963318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38603084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.413717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14941 KachelY 15909 -2.42536744 1.38603084 -138.963318 79.413717
    Oben rechts KachelX + 1 14942 KachelY 15909 -2.42531950 1.38603084 -138.960571 79.413717
    Unten links KachelX 14941 KachelY + 1 15910 -2.42536744 1.38602203 -138.963318 79.413213
    Unten rechts KachelX + 1 14942 KachelY + 1 15910 -2.42531950 1.38602203 -138.960571 79.413213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38603084-1.38602203) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dl = 56.128510001225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38603084-1.38602203) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dr = 56.128510001225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42536744--2.42531950) × cos(1.38603084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183716016941404 × 6371000     		do = 56.111600424144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42536744--2.42531950) × cos(1.38602203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183724676982449 × 6371000     		du = 56.1142454235887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38603084)-sin(1.38602203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183716016941404-0.183724676982449)×R²
    abs(-2.42531950--2.42536744)×8.66004104516094e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66004104516094e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66004104516094e-06×40589641000000     		ar = 3149.53475559084m²