Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14941 / 10895
↖ ↑ ↗
← N 75.996169°
W 97.926636°		 ← 147.80 m → N 75.996169°
W 97.921143°		 →
↑
147.81 m
↓
↑
147.81 m
↓
N 75.994839°
W 97.926636°		 ← 147.82 m →
21 847 m²		 N 75.994839°
W 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227989196777344 y=0.166252136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227989196777344 × 216)
    floor (0.227989196777344 × 65536)
    floor (14941.5)     		tx = 14941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166252136230469 × 216)
    floor (0.166252136230469 × 65536)
    floor (10895.5)     		ty = 10895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14941 / 10895 ti = "16/14941/10895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14941/10895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14941 ÷ 216
    14941 ÷ 65536     		x = 0.227981567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10895 ÷ 216
    10895 ÷ 65536     		y = 0.166244506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227981567382812 × 2 - 1) × π
    -0.544036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.70914222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166244506835938 × 2 - 1) × π
    0.667510986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09704761077898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70914222} λ = -1.70914222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09704761077898))-π/2
    2×atan(8.14209575616774)-π/2
    2×1.44858984276676-π/2
    2.89717968553353-1.57079632675     		φ = 1.32638336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70914222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.926636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32638336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.996169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14941 KachelY 10895 -1.70914222 1.32638336 -97.926636 75.996169
    Oben rechts KachelX + 1 14942 KachelY 10895 -1.70904635 1.32638336 -97.921143 75.996169
    Unten links KachelX 14941 KachelY + 1 10896 -1.70914222 1.32636016 -97.926636 75.994839
    Unten rechts KachelX + 1 14942 KachelY + 1 10896 -1.70904635 1.32636016 -97.921143 75.994839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32638336-1.32636016) × R
    2.3200000000001e-05 × 6371000     		dl = 147.807200000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32638336-1.32636016) × R
    2.3200000000001e-05 × 6371000     		dr = 147.807200000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70914222--1.70904635) × cos(1.32638336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24198678020459 × 6371000     		do = 147.802565850639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70914222--1.70904635) × cos(1.32636016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242009290624942 × 6371000     		du = 147.816314940087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32638336)-sin(1.32636016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24198678020459-0.242009290624942)×R²
    abs(-1.70904635--1.70914222)×2.2510420351507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2510420351507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2510420351507e-05×40589641000000     		ar = 21847.299519144m²