Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14940 / 14781
↖ ↑ ↗
← S 80.862365°
E148.271484°		 ← 388 m → S 80.862365°
E148.293457°		 →
↑
387.93 m
↓
↑
387.93 m
↓
S 80.865854°
E148.271484°		 ← 387.85 m →
150 488 m²		 S 80.865854°
E148.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911895751953125 y=0.902191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911895751953125 × 214)
    floor (0.911895751953125 × 16384)
    floor (14940.5)     		tx = 14940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902191162109375 × 214)
    floor (0.902191162109375 × 16384)
    floor (14781.5)     		ty = 14781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14940 / 14781 ti = "14/14940/14781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14940/14781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14940 ÷ 214
    14940 ÷ 16384     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14781 ÷ 214
    14781 ÷ 16384     		y = 0.90216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90216064453125 × 2 - 1) × π
    -0.8043212890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5268498527724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5268498527724))-π/2
    2×atan(0.0799103535884174)-π/2
    2×0.0797409087545864-π/2
    0.159481817509173-1.57079632675     		φ = -1.41131451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41131451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.862365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14940 KachelY 14781 2.58782559 -1.41131451 148.271484 -80.862365
    Oben rechts KachelX + 1 14941 KachelY 14781 2.58820908 -1.41131451 148.293457 -80.862365
    Unten links KachelX 14940 KachelY + 1 14782 2.58782559 -1.41137540 148.271484 -80.865854
    Unten rechts KachelX + 1 14941 KachelY + 1 14782 2.58820908 -1.41137540 148.293457 -80.865854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41131451--1.41137540) × R
    6.08900000000911e-05 × 6371000     		dl = 387.930190000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41131451--1.41137540) × R
    6.08900000000911e-05 × 6371000     		dr = 387.930190000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58820908) × cos(-1.41131451) × R
    0.000383489999999931 × 0.158806620649704 × 6371000     		do = 387.998684321206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58820908) × cos(-1.41137540) × R
    0.000383489999999931 × 0.158746503067296 × 6371000     		du = 387.851804154728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41131451)-sin(-1.41137540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158806620649704-0.158746503067296)×R²
    abs(2.58820908-2.58782559)×6.01175824080369e-05×R²
    0.000383489999999931×6.01175824080369e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.01175824080369e-05×40589641000000     		ar = 150487.91374811m²