Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14940 / 14748
↖ ↑ ↗
← S 80.746492°
E148.271484°		 ← 392.88 m → S 80.746492°
E148.293457°		 →
↑
392.84 m
↓
↑
392.84 m
↓
S 80.750025°
E148.271484°		 ← 392.73 m →
154 307 m²		 S 80.750025°
E148.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911895751953125 y=0.900177001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911895751953125 × 214)
    floor (0.911895751953125 × 16384)
    floor (14940.5)     		tx = 14940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900177001953125 × 214)
    floor (0.900177001953125 × 16384)
    floor (14748.5)     		ty = 14748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14940 / 14748 ti = "14/14940/14748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14940/14748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14940 ÷ 214
    14940 ÷ 16384     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14748 ÷ 214
    14748 ÷ 16384     		y = 0.900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.80029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51419451127271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51419451127271))-π/2
    2×atan(0.0809280726104046)-π/2
    2×0.0807520881418136-π/2
    0.161504176283627-1.57079632675     		φ = -1.40929215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40929215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.746492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14940 KachelY 14748 2.58782559 -1.40929215 148.271484 -80.746492
    Oben rechts KachelX + 1 14941 KachelY 14748 2.58820908 -1.40929215 148.293457 -80.746492
    Unten links KachelX 14940 KachelY + 1 14749 2.58782559 -1.40935381 148.271484 -80.750025
    Unten rechts KachelX + 1 14941 KachelY + 1 14749 2.58820908 -1.40935381 148.293457 -80.750025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40929215--1.40935381) × R
    6.16600000000744e-05 × 6371000     		dl = 392.835860000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40929215--1.40935381) × R
    6.16600000000744e-05 × 6371000     		dr = 392.835860000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58820908) × cos(-1.40929215) × R
    0.000383489999999931 × 0.160802990192724 × 6371000     		do = 392.876243915017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58820908) × cos(-1.40935381) × R
    0.000383489999999931 × 0.160742132298016 × 6371000     		du = 392.727555006579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40929215)-sin(-1.40935381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160802990192724-0.160742132298016)×R²
    abs(2.58820908-2.58782559)×6.0857894707611e-05×R²
    0.000383489999999931×6.0857894707611e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.0857894707611e-05×40589641000000     		ar = 154306.672033245m²