Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14940 / 14558
↖ ↑ ↗
← S 80.050460°
E148.271484°		 ← 422.14 m → S 80.050460°
E148.293457°		 →
↑
422.02 m
↓
↑
422.02 m
↓
S 80.054255°
E148.271484°		 ← 421.98 m →
178 116 m²		 S 80.054255°
E148.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911895751953125 y=0.888580322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911895751953125 × 214)
    floor (0.911895751953125 × 16384)
    floor (14940.5)     		tx = 14940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.888580322265625 × 214)
    floor (0.888580322265625 × 16384)
    floor (14558.5)     		ty = 14558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14940 / 14558 ti = "14/14940/14558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14940/14558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14940 ÷ 214
    14940 ÷ 16384     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14558 ÷ 214
    14558 ÷ 16384     		y = 0.8885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8885498046875 × 2 - 1) × π
    -0.777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.44133042385022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44133042385022))-π/2
    2×atan(0.0870449676907505)-π/2
    2×0.086826120197836-π/2
    0.173652240395672-1.57079632675     		φ = -1.39714409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39714409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.050460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14940 KachelY 14558 2.58782559 -1.39714409 148.271484 -80.050460
    Oben rechts KachelX + 1 14941 KachelY 14558 2.58820908 -1.39714409 148.293457 -80.050460
    Unten links KachelX 14940 KachelY + 1 14559 2.58782559 -1.39721033 148.271484 -80.054255
    Unten rechts KachelX + 1 14941 KachelY + 1 14559 2.58820908 -1.39721033 148.293457 -80.054255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39714409--1.39721033) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dl = 422.015039999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39714409--1.39721033) × R
    6.62399999999952e-05 × 6371000     		dr = 422.015039999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58820908) × cos(-1.39714409) × R
    0.000383489999999931 × 0.172780801668464 × 6371000     		do = 422.140610064372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58820908) × cos(-1.39721033) × R
    0.000383489999999931 × 0.172715557519114 × 6371000     		du = 421.98120459372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39714409)-sin(-1.39721033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172780801668464-0.172715557519114)×R²
    abs(2.58820908-2.58782559)×6.52441493498856e-05×R²
    0.000383489999999931×6.52441493498856e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.52441493498856e-05×40589641000000     		ar = 178116.05075362m²