Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14939 / 7587
↖ ↑ ↗
← N 69.025347°
W 15.875244°		 ← 437.29 m → N 69.025347°
W 15.864258°		 →
↑
437.31 m
↓
↑
437.31 m
↓
N 69.021414°
W 15.875244°		 ← 437.37 m →
191 247 m²		 N 69.021414°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455917358398438 y=0.231552124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455917358398438 × 215)
    floor (0.455917358398438 × 32768)
    floor (14939.5)     		tx = 14939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231552124023438 × 215)
    floor (0.231552124023438 × 32768)
    floor (7587.5)     		ty = 7587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14939 / 7587 ti = "15/14939/7587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14939/7587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14939 ÷ 215
    14939 ÷ 32768     		x = 0.455902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7587 ÷ 215
    7587 ÷ 32768     		y = 0.231536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.08819580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27707528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231536865234375 × 2 - 1) × π
    0.53692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68680362383054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27707528} λ = -0.27707528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68680362383054))-π/2
    2×atan(5.40218566161196)-π/2
    2×1.38775795007032-π/2
    2.77551590014065-1.57079632675     		φ = 1.20471957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27707528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.875244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20471957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.025347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14939 KachelY 7587 -0.27707528 1.20471957 -15.875244 69.025347
    Oben rechts KachelX + 1 14940 KachelY 7587 -0.27688353 1.20471957 -15.864258 69.025347
    Unten links KachelX 14939 KachelY + 1 7588 -0.27707528 1.20465093 -15.875244 69.021414
    Unten rechts KachelX + 1 14940 KachelY + 1 7588 -0.27688353 1.20465093 -15.864258 69.021414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20471957-1.20465093) × R
    6.86400000000642e-05 × 6371000     		dl = 437.305440000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20471957-1.20465093) × R
    6.86400000000642e-05 × 6371000     		dr = 437.305440000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27707528--0.27688353) × cos(1.20471957) × R
    0.000191749999999991 × 0.357954911465247 × 6371000     		do = 437.291769576199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27707528--0.27688353) × cos(1.20465093) × R
    0.000191749999999991 × 0.358019002458138 × 6371000     		du = 437.370065648686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20471957)-sin(1.20465093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357954911465247-0.358019002458138)×R²
    abs(-0.27688353--0.27707528)×6.40909928906197e-05×R²
    0.000191749999999991×6.40909928906197e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.40909928906197e-05×40589641000000     		ar = 191247.189427281m²