Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14939 / 21279
↖ ↑ ↗
← S 47.271775°
W 15.875244°		 ← 828.91 m → S 47.271775°
W 15.864258°		 →
↑
828.80 m
↓
↑
828.80 m
↓
S 47.279229°
W 15.875244°		 ← 828.79 m →
686 954 m²		 S 47.279229°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455917358398438 y=0.649398803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455917358398438 × 215)
    floor (0.455917358398438 × 32768)
    floor (14939.5)     		tx = 14939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649398803710938 × 215)
    floor (0.649398803710938 × 32768)
    floor (21279.5)     		ty = 21279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14939 / 21279 ti = "15/14939/21279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14939/21279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14939 ÷ 215
    14939 ÷ 32768     		x = 0.455902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21279 ÷ 215
    21279 ÷ 32768     		y = 0.649383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.08819580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27707528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.29876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.938604494560699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27707528} λ = -0.27707528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938604494560699))-π/2
    2×atan(0.391173339165743)-π/2
    2×0.372874104321057-π/2
    0.745748208642114-1.57079632675     		φ = -0.82504812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27707528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.875244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82504812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.271775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14939 KachelY 21279 -0.27707528 -0.82504812 -15.875244 -47.271775
    Oben rechts KachelX + 1 14940 KachelY 21279 -0.27688353 -0.82504812 -15.864258 -47.271775
    Unten links KachelX 14939 KachelY + 1 21280 -0.27707528 -0.82517821 -15.875244 -47.279229
    Unten rechts KachelX + 1 14940 KachelY + 1 21280 -0.27688353 -0.82517821 -15.864258 -47.279229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82504812--0.82517821) × R
    0.000130089999999972 × 6371000     		dl = 828.803389999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82504812--0.82517821) × R
    0.000130089999999972 × 6371000     		dr = 828.803389999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27707528--0.27688353) × cos(-0.82504812) × R
    0.000191749999999991 × 0.678521618398961 × 6371000     		do = 828.908641009652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27707528--0.27688353) × cos(-0.82517821) × R
    0.000191749999999991 × 0.67842605108918 × 6371000     		du = 828.791892233006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82504812)-sin(-0.82517821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678521618398961-0.67842605108918)×R²
    abs(-0.27688353--0.27707528)×9.55673097809973e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55673097809973e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55673097809973e-05×40589641000000     		ar = 686953.911746355m²