Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14939 / 15911
↖ ↑ ↗
← N 79.412708°
W138.968811°		 ← 56.12 m → N 79.412708°
W138.966064°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.412203°
W138.968811°		 ← 56.12 m →
3 150 m²		 N 79.412203°
W138.966064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113979339599609 y=0.121395111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113979339599609 × 217)
    floor (0.113979339599609 × 131072)
    floor (14939.5)     		tx = 14939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121395111083984 × 217)
    floor (0.121395111083984 × 131072)
    floor (15911.5)     		ty = 15911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14939 / 15911 ti = "17/14939/15911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14939/15911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14939 ÷ 217
    14939 ÷ 131072     		x = 0.113975524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15911 ÷ 217
    15911 ÷ 131072     		y = 0.121391296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113975524902344 × 2 - 1) × π
    -0.772048950195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.42546331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121391296386719 × 2 - 1) × π
    0.757217407226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.37886864364529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42546331} λ = -2.42546331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37886864364529))-π/2
    2×atan(10.7926855807677)-π/2
    2×1.47840477398964-π/2
    2.95680954797928-1.57079632675     		φ = 1.38601322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42546331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.968811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38601322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.412708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14939 KachelY 15911 -2.42546331 1.38601322 -138.968811 79.412708
    Oben rechts KachelX + 1 14940 KachelY 15911 -2.42541537 1.38601322 -138.966064 79.412708
    Unten links KachelX 14939 KachelY + 1 15912 -2.42546331 1.38600441 -138.968811 79.412203
    Unten rechts KachelX + 1 14940 KachelY + 1 15912 -2.42541537 1.38600441 -138.966064 79.412203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38601322-1.38600441) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38601322-1.38600441) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42546331--2.42541537) × cos(1.38601322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183733337009234 × 6371000     		do = 56.1168904186779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42546331--2.42541537) × cos(1.38600441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183741997021758 × 6371000     		du = 56.1195354094115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38601322)-sin(1.38600441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183733337009234-0.183741997021758)×R²
    abs(-2.42541537--2.42546331)×8.66001252428084e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66001252428084e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66001252428084e-06×40589641000000     		ar = 3149.83167473229m²