Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14938 / 8937
↖ ↑ ↗
← N 63.030057°
W 15.886231°		 ← 554.04 m → N 63.030057°
W 15.875244°		 →
↑
554.09 m
↓
↑
554.09 m
↓
N 63.025074°
W 15.886231°		 ← 554.14 m →
307 013 m²		 N 63.025074°
W 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455886840820312 y=0.272750854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455886840820312 × 215)
    floor (0.455886840820312 × 32768)
    floor (14938.5)     		tx = 14938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272750854492188 × 215)
    floor (0.272750854492188 × 32768)
    floor (8937.5)     		ty = 8937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14938 / 8937 ti = "15/14938/8937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14938/8937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14938 ÷ 215
    14938 ÷ 32768     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8937 ÷ 215
    8937 ÷ 32768     		y = 0.272735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272735595703125 × 2 - 1) × π
    0.45452880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42794436588223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42794436588223))-π/2
    2×atan(4.17011813807167)-π/2
    2×1.33543917621861-π/2
    2.67087835243721-1.57079632675     		φ = 1.10008203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10008203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.030057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14938 KachelY 8937 -0.27726703 1.10008203 -15.886231 63.030057
    Oben rechts KachelX + 1 14939 KachelY 8937 -0.27707528 1.10008203 -15.875244 63.030057
    Unten links KachelX 14938 KachelY + 1 8938 -0.27726703 1.09999506 -15.886231 63.025074
    Unten rechts KachelX + 1 14939 KachelY + 1 8938 -0.27707528 1.09999506 -15.875244 63.025074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10008203-1.09999506) × R
    8.69700000001306e-05 × 6371000     		dl = 554.085870000832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10008203-1.09999506) × R
    8.69700000001306e-05 × 6371000     		dr = 554.085870000832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27707528) × cos(1.10008203) × R
    0.000191750000000046 × 0.453523014159807 × 6371000     		do = 554.041514876059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27707528) × cos(1.09999506) × R
    0.000191750000000046 × 0.453600523984401 × 6371000     		du = 554.136203920044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10008203)-sin(1.09999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453523014159807-0.453600523984401)×R²
    abs(-0.27707528--0.27726703)×7.75098245942019e-05×R²
    0.000191750000000046×7.75098245942019e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.75098245942019e-05×40589641000000     		ar = 307012.807911361m²