Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14938 / 7540
↖ ↑ ↗
← N 69.209404°
W 15.886231°		 ← 433.63 m → N 69.209404°
W 15.875244°		 →
↑
433.67 m
↓
↑
433.67 m
↓
N 69.205504°
W 15.886231°		 ← 433.70 m →
188 069 m²		 N 69.205504°
W 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455886840820312 y=0.230117797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455886840820312 × 215)
    floor (0.455886840820312 × 32768)
    floor (14938.5)     		tx = 14938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230117797851562 × 215)
    floor (0.230117797851562 × 32768)
    floor (7540.5)     		ty = 7540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14938 / 7540 ti = "15/14938/7540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14938/7540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14938 ÷ 215
    14938 ÷ 32768     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7540 ÷ 215
    7540 ÷ 32768     		y = 0.2301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2301025390625 × 2 - 1) × π
    0.539794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69581576095911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69581576095911))-π/2
    2×atan(5.45109093912088)-π/2
    2×1.38936414910346-π/2
    2.77872829820692-1.57079632675     		φ = 1.20793197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20793197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.209404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14938 KachelY 7540 -0.27726703 1.20793197 -15.886231 69.209404
    Oben rechts KachelX + 1 14939 KachelY 7540 -0.27707528 1.20793197 -15.875244 69.209404
    Unten links KachelX 14938 KachelY + 1 7541 -0.27726703 1.20786390 -15.886231 69.205504
    Unten rechts KachelX + 1 14939 KachelY + 1 7541 -0.27707528 1.20786390 -15.875244 69.205504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20793197-1.20786390) × R
    6.80699999999756e-05 × 6371000     		dl = 433.673969999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20793197-1.20786390) × R
    6.80699999999756e-05 × 6371000     		dr = 433.673969999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27707528) × cos(1.20793197) × R
    0.000191750000000046 × 0.354953526912602 × 6371000     		do = 433.62516040247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27707528) × cos(1.20786390) × R
    0.000191750000000046 × 0.355017163640459 × 6371000     		du = 433.702901526962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20793197)-sin(1.20786390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354953526912602-0.355017163640459)×R²
    abs(-0.27707528--0.27726703)×6.36367278573635e-05×R²
    0.000191750000000046×6.36367278573635e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.36367278573635e-05×40589641000000     		ar = 188068.802027174m²