Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14937 / 6829
↖ ↑ ↗
← N 71.811701°
W 15.897217°		 ← 381.32 m → N 71.811701°
W 15.886231°		 →
↑
381.30 m
↓
↑
381.30 m
↓
N 71.808272°
W 15.897217°		 ← 381.39 m →
145 414 m²		 N 71.808272°
W 15.886231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455856323242188 y=0.208419799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455856323242188 × 215)
    floor (0.455856323242188 × 32768)
    floor (14937.5)     		tx = 14937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208419799804688 × 215)
    floor (0.208419799804688 × 32768)
    floor (6829.5)     		ty = 6829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14937 / 6829 ti = "15/14937/6829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14937/6829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14937 ÷ 215
    14937 ÷ 32768     		x = 0.455841064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6829 ÷ 215
    6829 ÷ 32768     		y = 0.208404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.08831787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27745878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208404541015625 × 2 - 1) × π
    0.58319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83214830347855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27745878} λ = -0.27745878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83214830347855))-π/2
    2×atan(6.24729333456626)-π/2
    2×1.41207347499676-π/2
    2.82414694999353-1.57079632675     		φ = 1.25335062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27745878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.897217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25335062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.811701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14937 KachelY 6829 -0.27745878 1.25335062 -15.897217 71.811701
    Oben rechts KachelX + 1 14938 KachelY 6829 -0.27726703 1.25335062 -15.886231 71.811701
    Unten links KachelX 14937 KachelY + 1 6830 -0.27745878 1.25329077 -15.897217 71.808272
    Unten rechts KachelX + 1 14938 KachelY + 1 6830 -0.27726703 1.25329077 -15.886231 71.808272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25335062-1.25329077) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dl = 381.304349999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25335062-1.25329077) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dr = 381.304349999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27745878--0.27726703) × cos(1.25335062) × R
    0.000191749999999991 × 0.312140911493566 × 6371000     		do = 381.323589011297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27745878--0.27726703) × cos(1.25329077) × R
    0.000191749999999991 × 0.312197770578062 × 6371000     		du = 381.393050300637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25335062)-sin(1.25329077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312140911493566-0.312197770578062)×R²
    abs(-0.27726703--0.27745878)×5.68590844959305e-05×R²
    0.000191749999999991×5.68590844959305e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.68590844959305e-05×40589641000000     		ar = 145413.586237185m²