Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14937 / 21283
↖ ↑ ↗
← S 47.301584°
W 15.897217°		 ← 828.44 m → S 47.301584°
W 15.886231°		 →
↑
828.36 m
↓
↑
828.36 m
↓
S 47.309034°
W 15.897217°		 ← 828.32 m →
686 197 m²		 S 47.309034°
W 15.886231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455856323242188 y=0.649520874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455856323242188 × 215)
    floor (0.455856323242188 × 32768)
    floor (14937.5)     		tx = 14937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649520874023438 × 215)
    floor (0.649520874023438 × 32768)
    floor (21283.5)     		ty = 21283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14937 / 21283 ti = "15/14937/21283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14937/21283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14937 ÷ 215
    14937 ÷ 32768     		x = 0.455841064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21283 ÷ 215
    21283 ÷ 32768     		y = 0.649505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.08831787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27745878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.29901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.93937148495462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27745878} λ = -0.27745878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93937148495462))-π/2
    2×atan(0.390873428001439)-π/2
    2×0.372613967840014-π/2
    0.745227935680029-1.57079632675     		φ = -0.82556839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27745878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.897217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82556839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.301584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14937 KachelY 21283 -0.27745878 -0.82556839 -15.897217 -47.301584
    Oben rechts KachelX + 1 14938 KachelY 21283 -0.27726703 -0.82556839 -15.886231 -47.301584
    Unten links KachelX 14937 KachelY + 1 21284 -0.27745878 -0.82569841 -15.897217 -47.309034
    Unten rechts KachelX + 1 14938 KachelY + 1 21284 -0.27726703 -0.82569841 -15.886231 -47.309034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82556839--0.82569841) × R
    0.000130019999999953 × 6371000     		dl = 828.3574199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82556839--0.82569841) × R
    0.000130019999999953 × 6371000     		dr = 828.3574199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27745878--0.27726703) × cos(-0.82556839) × R
    0.000191749999999991 × 0.678139346422626 × 6371000     		do = 828.441642559186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27745878--0.27726703) × cos(-0.82569841) × R
    0.000191749999999991 × 0.678043784656874 × 6371000     		du = 828.324900555344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82556839)-sin(-0.82569841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678139346422626-0.678043784656874)×R²
    abs(-0.27726703--0.27745878)×9.55617657519836e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55617657519836e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55617657519836e-05×40589641000000     		ar = 686197.430564627m²