Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14936 / 20675
↖ ↑ ↗
← S 42.577355°
W 15.908203°		 ← 899.52 m → S 42.577355°
W 15.897217°		 →
↑
899.52 m
↓
↑
899.52 m
↓
S 42.585445°
W 15.908203°		 ← 899.41 m →
809 090 m²		 S 42.585445°
W 15.897217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455825805664062 y=0.630966186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455825805664062 × 215)
    floor (0.455825805664062 × 32768)
    floor (14936.5)     		tx = 14936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630966186523438 × 215)
    floor (0.630966186523438 × 32768)
    floor (20675.5)     		ty = 20675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14936 / 20675 ti = "15/14936/20675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14936/20675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14936 ÷ 215
    14936 ÷ 32768     		x = 0.455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20675 ÷ 215
    20675 ÷ 32768     		y = 0.630950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630950927734375 × 2 - 1) × π
    -0.26190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822788945078644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27765052} λ = -0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822788945078644))-π/2
    2×atan(0.439205026105388)-π/2
    2×0.413840649035994-π/2
    0.827681298071987-1.57079632675     		φ = -0.74311503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74311503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.577355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14936 KachelY 20675 -0.27765052 -0.74311503 -15.908203 -42.577355
    Oben rechts KachelX + 1 14937 KachelY 20675 -0.27745878 -0.74311503 -15.897217 -42.577355
    Unten links KachelX 14936 KachelY + 1 20676 -0.27765052 -0.74325622 -15.908203 -42.585445
    Unten rechts KachelX + 1 14937 KachelY + 1 20676 -0.27745878 -0.74325622 -15.897217 -42.585445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74311503--0.74325622) × R
    0.000141190000000013 × 6371000     		dl = 899.521490000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74311503--0.74325622) × R
    0.000141190000000013 × 6371000     		dr = 899.521490000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27765052--0.27745878) × cos(-0.74311503) × R
    0.000191739999999996 × 0.736364552223709 × 6371000     		do = 899.524925519515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27765052--0.27745878) × cos(-0.74325622) × R
    0.000191739999999996 × 0.736269017849973 × 6371000     		du = 899.40822306533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74311503)-sin(-0.74325622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736364552223709-0.736269017849973)×R²
    abs(-0.27745878--0.27765052)×9.55343737357728e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55343737357728e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55343737357728e-05×40589641000000     		ar = 809089.514456185m²