Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14935 / 15909
↖ ↑ ↗
← N 79.413717°
W138.979797°		 ← 56.11 m → N 79.413717°
W138.977051°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.413213°
W138.979797°		 ← 56.11 m →
3 150 m²		 N 79.413213°
W138.977051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113948822021484 y=0.121379852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113948822021484 × 217)
    floor (0.113948822021484 × 131072)
    floor (14935.5)     		tx = 14935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121379852294922 × 217)
    floor (0.121379852294922 × 131072)
    floor (15909.5)     		ty = 15909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14935 / 15909 ti = "17/14935/15909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14935/15909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14935 ÷ 217
    14935 ÷ 131072     		x = 0.113945007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15909 ÷ 217
    15909 ÷ 131072     		y = 0.121376037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113945007324219 × 2 - 1) × π
    -0.772109985351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.42565506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121376037597656 × 2 - 1) × π
    0.757247924804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.37896451744453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42565506} λ = -2.42565506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37896451744453))-π/2
    2×atan(10.7937203661419)-π/2
    2×1.47841358118111-π/2
    2.95682716236222-1.57079632675     		φ = 1.38603084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42565506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.979797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38603084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.413717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14935 KachelY 15909 -2.42565506 1.38603084 -138.979797 79.413717
    Oben rechts KachelX + 1 14936 KachelY 15909 -2.42560712 1.38603084 -138.977051 79.413717
    Unten links KachelX 14935 KachelY + 1 15910 -2.42565506 1.38602203 -138.979797 79.413213
    Unten rechts KachelX + 1 14936 KachelY + 1 15910 -2.42560712 1.38602203 -138.977051 79.413213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38603084-1.38602203) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dl = 56.128510001225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38603084-1.38602203) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dr = 56.128510001225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42565506--2.42560712) × cos(1.38603084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183716016941404 × 6371000     		do = 56.111600424144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42565506--2.42560712) × cos(1.38602203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183724676982449 × 6371000     		du = 56.1142454235887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38603084)-sin(1.38602203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183716016941404-0.183724676982449)×R²
    abs(-2.42560712--2.42565506)×8.66004104516094e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66004104516094e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66004104516094e-06×40589641000000     		ar = 3149.53475559084m²