Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14935 / 14936
↖ ↑ ↗
← N 69.488372°
W 97.959595°		 ← 214.02 m → N 69.488372°
W 97.954102°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
N 69.486447°
W 97.959595°		 ← 214.04 m →
45 816 m²		 N 69.486447°
W 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227897644042969 y=0.227912902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227897644042969 × 216)
    floor (0.227897644042969 × 65536)
    floor (14935.5)     		tx = 14935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227912902832031 × 216)
    floor (0.227912902832031 × 65536)
    floor (14936.5)     		ty = 14936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14935 / 14936 ti = "16/14935/14936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14935/14936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14935 ÷ 216
    14935 ÷ 65536     		x = 0.227890014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14936 ÷ 216
    14936 ÷ 65536     		y = 0.2279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227890014648438 × 2 - 1) × π
    -0.544219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70971746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2279052734375 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70962158804968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70971746} λ = -1.70971746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70962158804968))-π/2
    2×atan(5.52686964833959)-π/2
    2×1.39179860849896-π/2
    2.78359721699792-1.57079632675     		φ = 1.21280089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70971746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.959595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21280089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.488372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14935 KachelY 14936 -1.70971746 1.21280089 -97.959595 69.488372
    Oben rechts KachelX + 1 14936 KachelY 14936 -1.70962159 1.21280089 -97.954102 69.488372
    Unten links KachelX 14935 KachelY + 1 14937 -1.70971746 1.21276729 -97.959595 69.486447
    Unten rechts KachelX + 1 14936 KachelY + 1 14937 -1.70962159 1.21276729 -97.954102 69.486447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21280089-1.21276729) × R
    3.3600000000078e-05 × 6371000     		dl = 214.065600000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21280089-1.21276729) × R
    3.3600000000078e-05 × 6371000     		dr = 214.065600000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70971746--1.70962159) × cos(1.21280089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350397462428099 × 6371000     		do = 214.018484690113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70971746--1.70962159) × cos(1.21276729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350428932027221 × 6371000     		du = 214.037705936383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21280089)-sin(1.21276729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350397462428099-0.350428932027221)×R²
    abs(-1.70962159--1.70971746)×3.1469599122369e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1469599122369e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1469599122369e-05×40589641000000     		ar = 45816.0526445267m²