Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14933 / 8942
↖ ↑ ↗
← N 63.005134°
W 15.941162°		 ← 554.52 m → N 63.005134°
W 15.930176°		 →
↑
554.53 m
↓
↑
554.53 m
↓
N 63.000147°
W 15.941162°		 ← 554.61 m →
307 523 m²		 N 63.000147°
W 15.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455734252929688 y=0.272903442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455734252929688 × 215)
    floor (0.455734252929688 × 32768)
    floor (14933.5)     		tx = 14933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272903442382812 × 215)
    floor (0.272903442382812 × 32768)
    floor (8942.5)     		ty = 8942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14933 / 8942 ti = "15/14933/8942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14933/8942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14933 ÷ 215
    14933 ÷ 32768     		x = 0.455718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8942 ÷ 215
    8942 ÷ 32768     		y = 0.27288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.08856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27822577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27288818359375 × 2 - 1) × π
    0.4542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42698562788983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27822577} λ = -0.27822577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42698562788983))-π/2
    2×atan(4.16612200330911)-π/2
    2×1.33522167844212-π/2
    2.67044335688423-1.57079632675     		φ = 1.09964703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27822577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.941162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09964703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.005134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14933 KachelY 8942 -0.27822577 1.09964703 -15.941162 63.005134
    Oben rechts KachelX + 1 14934 KachelY 8942 -0.27803402 1.09964703 -15.930176 63.005134
    Unten links KachelX 14933 KachelY + 1 8943 -0.27822577 1.09955999 -15.941162 63.000147
    Unten rechts KachelX + 1 14934 KachelY + 1 8943 -0.27803402 1.09955999 -15.930176 63.000147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09964703-1.09955999) × R
    8.70400000001492e-05 × 6371000     		dl = 554.531840000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09964703-1.09955999) × R
    8.70400000001492e-05 × 6371000     		dr = 554.531840000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27822577--0.27803402) × cos(1.09964703) × R
    0.000191749999999991 × 0.45391066262465 × 6371000     		do = 554.515081455754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27822577--0.27803402) × cos(1.09955999) × R
    0.000191749999999991 × 0.453988217653325 × 6371000     		du = 554.609825722817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09964703)-sin(1.09955999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45391066262465-0.453988217653325)×R²
    abs(-0.27803402--0.27822577)×7.75550286743476e-05×R²
    0.000191749999999991×7.75550286743476e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.75550286743476e-05×40589641000000     		ar = 307522.537977749m²