Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14933 / 20681
↖ ↑ ↗
← S 42.625876°
W 15.941162°		 ← 898.87 m → S 42.625876°
W 15.930176°		 →
↑
898.76 m
↓
↑
898.76 m
↓
S 42.633959°
W 15.941162°		 ← 898.75 m →
807 815 m²		 S 42.633959°
W 15.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455734252929688 y=0.631149291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455734252929688 × 215)
    floor (0.455734252929688 × 32768)
    floor (14933.5)     		tx = 14933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631149291992188 × 215)
    floor (0.631149291992188 × 32768)
    floor (20681.5)     		ty = 20681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14933 / 20681 ti = "15/14933/20681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14933/20681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14933 ÷ 215
    14933 ÷ 32768     		x = 0.455718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20681 ÷ 215
    20681 ÷ 32768     		y = 0.631134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.08856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27822577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.26226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.823939430669525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27822577} λ = -0.27822577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823939430669525))-π/2
    2×atan(0.438700017609613)-π/2
    2×0.413417225500742-π/2
    0.826834451001483-1.57079632675     		φ = -0.74396188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27822577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.941162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74396188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.625876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14933 KachelY 20681 -0.27822577 -0.74396188 -15.941162 -42.625876
    Oben rechts KachelX + 1 14934 KachelY 20681 -0.27803402 -0.74396188 -15.930176 -42.625876
    Unten links KachelX 14933 KachelY + 1 20682 -0.27822577 -0.74410295 -15.941162 -42.633959
    Unten rechts KachelX + 1 14934 KachelY + 1 20682 -0.27803402 -0.74410295 -15.930176 -42.633959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74396188--0.74410295) × R
    0.000141070000000076 × 6371000     		dl = 898.756970000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74396188--0.74410295) × R
    0.000141070000000076 × 6371000     		dr = 898.756970000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27822577--0.27803402) × cos(-0.74396188) × R
    0.000191749999999991 × 0.735791322251238 × 6371000     		do = 898.871559071466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27822577--0.27803402) × cos(-0.74410295) × R
    0.000191749999999991 × 0.735695781150223 × 6371000     		du = 898.754842312479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74396188)-sin(-0.74410295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735791322251238-0.735695781150223)×R²
    abs(-0.27803402--0.27822577)×9.55411010146179e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55411010146179e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55411010146179e-05×40589641000000     		ar = 807814.630190299m²