Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14932 / 6852
↖ ↑ ↗
← N 71.732662°
W 15.952148°		 ← 382.90 m → N 71.732662°
W 15.941162°		 →
↑
382.96 m
↓
↑
382.96 m
↓
N 71.729218°
W 15.952148°		 ← 382.97 m →
146 651 m²		 N 71.729218°
W 15.941162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455703735351562 y=0.209121704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455703735351562 × 215)
    floor (0.455703735351562 × 32768)
    floor (14932.5)     		tx = 14932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209121704101562 × 215)
    floor (0.209121704101562 × 32768)
    floor (6852.5)     		ty = 6852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14932 / 6852 ti = "15/14932/6852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14932/6852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14932 ÷ 215
    14932 ÷ 32768     		x = 0.4556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6852 ÷ 215
    6852 ÷ 32768     		y = 0.2091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27841751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2091064453125 × 2 - 1) × π
    0.581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8277381087135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27841751} λ = -0.27841751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8277381087135))-π/2
    2×atan(6.21980221935074)-π/2
    2×1.41138373016238-π/2
    2.82276746032475-1.57079632675     		φ = 1.25197113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27841751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.952148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25197113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.732662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14932 KachelY 6852 -0.27841751 1.25197113 -15.952148 71.732662
    Oben rechts KachelX + 1 14933 KachelY 6852 -0.27822577 1.25197113 -15.941162 71.732662
    Unten links KachelX 14932 KachelY + 1 6853 -0.27841751 1.25191102 -15.952148 71.729218
    Unten rechts KachelX + 1 14933 KachelY + 1 6853 -0.27822577 1.25191102 -15.941162 71.729218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25197113-1.25191102) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dl = 382.96080999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25197113-1.25191102) × R
    6.01099999999466e-05 × 6371000     		dr = 382.96080999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27841751--0.27822577) × cos(1.25197113) × R
    0.000191739999999996 × 0.313451178984603 × 6371000     		do = 382.904293231745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27841751--0.27822577) × cos(1.25191102) × R
    0.000191739999999996 × 0.313508259133766 × 6371000     		du = 382.974020945782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25197113)-sin(1.25191102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313451178984603-0.313508259133766)×R²
    abs(-0.27822577--0.27841751)×5.70801491627249e-05×R²
    0.000191739999999996×5.70801491627249e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.70801491627249e-05×40589641000000     		ar = 146650.68982325m²