Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14931 / 8941
↖ ↑ ↗
← N 63.010120°
W 15.963135°		 ← 554.42 m → N 63.010120°
W 15.952148°		 →
↑
554.47 m
↓
↑
554.47 m
↓
N 63.005134°
W 15.963135°		 ← 554.52 m →
307 435 m²		 N 63.005134°
W 15.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455673217773438 y=0.272872924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455673217773438 × 215)
    floor (0.455673217773438 × 32768)
    floor (14931.5)     		tx = 14931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272872924804688 × 215)
    floor (0.272872924804688 × 32768)
    floor (8941.5)     		ty = 8941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14931 / 8941 ti = "15/14931/8941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14931/8941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14931 ÷ 215
    14931 ÷ 32768     		x = 0.455657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8941 ÷ 215
    8941 ÷ 32768     		y = 0.272857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.08868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27860926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272857666015625 × 2 - 1) × π
    0.45428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42717737548831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27860926} λ = -0.27860926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42717737548831))-π/2
    2×atan(4.16692092379131)-π/2
    2×1.33526519286434-π/2
    2.67053038572867-1.57079632675     		φ = 1.09973406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27860926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09973406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.010120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14931 KachelY 8941 -0.27860926 1.09973406 -15.963135 63.010120
    Oben rechts KachelX + 1 14932 KachelY 8941 -0.27841751 1.09973406 -15.952148 63.010120
    Unten links KachelX 14931 KachelY + 1 8942 -0.27860926 1.09964703 -15.963135 63.005134
    Unten rechts KachelX + 1 14932 KachelY + 1 8942 -0.27841751 1.09964703 -15.952148 63.005134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09973406-1.09964703) × R
    8.7029999999988e-05 × 6371000     		dl = 554.468129999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09973406-1.09964703) × R
    8.7029999999988e-05 × 6371000     		dr = 554.468129999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27860926--0.27841751) × cos(1.09973406) × R
    0.000191750000000046 × 0.453833113068033 × 6371000     		do = 554.420343873731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27860926--0.27841751) × cos(1.09964703) × R
    0.000191750000000046 × 0.45391066262465 × 6371000     		du = 554.515081455914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09973406)-sin(1.09964703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453833113068033-0.45391066262465)×R²
    abs(-0.27841751--0.27860926)×7.75495566169293e-05×R²
    0.000191750000000046×7.75495566169293e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.75495566169293e-05×40589641000000     		ar = 307434.675980892m²