Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14931 / 20677
↖ ↑ ↗
← S 42.593532°
W 15.963135°		 ← 899.34 m → S 42.593532°
W 15.952148°		 →
↑
899.27 m
↓
↑
899.27 m
↓
S 42.601620°
W 15.963135°		 ← 899.22 m →
808 693 m²		 S 42.601620°
W 15.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455673217773438 y=0.631027221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455673217773438 × 215)
    floor (0.455673217773438 × 32768)
    floor (14931.5)     		tx = 14931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631027221679688 × 215)
    floor (0.631027221679688 × 32768)
    floor (20677.5)     		ty = 20677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14931 / 20677 ti = "15/14931/20677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14931/20677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14931 ÷ 215
    14931 ÷ 32768     		x = 0.455657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20677 ÷ 215
    20677 ÷ 32768     		y = 0.631011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.08868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27860926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631011962890625 × 2 - 1) × π
    -0.26202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.823172440275604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27860926} λ = -0.27860926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823172440275604))-π/2
    2×atan(0.439036625379894)-π/2
    2×0.4136994712195-π/2
    0.827398942439001-1.57079632675     		φ = -0.74339738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27860926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74339738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.593532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14931 KachelY 20677 -0.27860926 -0.74339738 -15.963135 -42.593532
    Oben rechts KachelX + 1 14932 KachelY 20677 -0.27841751 -0.74339738 -15.952148 -42.593532
    Unten links KachelX 14931 KachelY + 1 20678 -0.27860926 -0.74353853 -15.963135 -42.601620
    Unten rechts KachelX + 1 14932 KachelY + 1 20678 -0.27841751 -0.74353853 -15.952148 -42.601620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74339738--0.74353853) × R
    0.000141150000000034 × 6371000     		dl = 899.266650000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74339738--0.74353853) × R
    0.000141150000000034 × 6371000     		dr = 899.266650000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27860926--0.27841751) × cos(-0.74339738) × R
    0.000191750000000046 × 0.736173489102783 × 6371000     		do = 899.338429097623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27860926--0.27841751) × cos(-0.74353853) × R
    0.000191750000000046 × 0.736077952455461 × 6371000     		du = 899.221717779442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74339738)-sin(-0.74353853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736173489102783-0.736077952455461)×R²
    abs(-0.27841751--0.27860926)×9.55366473217589e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55366473217589e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55366473217589e-05×40589641000000     		ar = 808692.580395822m²