Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14931 / 14788
↖ ↑ ↗
← S 80.886759°
E148.073730°		 ← 386.98 m → S 80.886759°
E148.095703°		 →
↑
386.85 m
↓
↑
386.85 m
↓
S 80.890238°
E148.073730°		 ← 386.84 m →
149 674 m²		 S 80.890238°
E148.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911346435546875 y=0.902618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911346435546875 × 214)
    floor (0.911346435546875 × 16384)
    floor (14931.5)     		tx = 14931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902618408203125 × 214)
    floor (0.902618408203125 × 16384)
    floor (14788.5)     		ty = 14788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14931 / 14788 ti = "14/14931/14788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14931/14788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14931 ÷ 214
    14931 ÷ 16384     		x = 0.91131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14788 ÷ 214
    14788 ÷ 16384     		y = 0.902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91131591796875 × 2 - 1) × π
    0.8226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58437413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.80517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52953431915112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58437413} λ = 2.58437413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52953431915112))-π/2
    2×atan(0.0796961246048003)-π/2
    2×0.0795280354674196-π/2
    0.159056070934839-1.57079632675     		φ = -1.41174026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58437413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41174026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.886759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14931 KachelY 14788 2.58437413 -1.41174026 148.073730 -80.886759
    Oben rechts KachelX + 1 14932 KachelY 14788 2.58475763 -1.41174026 148.095703 -80.886759
    Unten links KachelX 14931 KachelY + 1 14789 2.58437413 -1.41180098 148.073730 -80.890238
    Unten rechts KachelX + 1 14932 KachelY + 1 14789 2.58475763 -1.41180098 148.095703 -80.890238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41174026--1.41180098) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dl = 386.84712000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41174026--1.41180098) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dr = 386.84712000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58437413-2.58475763) × cos(-1.41174026) × R
    0.00038349999999987 × 0.158386259161825 × 6371000     		do = 386.981741705384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58437413-2.58475763) × cos(-1.41180098) × R
    0.00038349999999987 × 0.158326305324521 × 6371000     		du = 386.835257783707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41174026)-sin(-1.41180098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158386259161825-0.158326305324521)×R²
    abs(2.58475763-2.58437413)×5.99538373039221e-05×R²
    0.00038349999999987×5.99538373039221e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.99538373039221e-05×40589641000000     		ar = 149674.438876036m²