Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14930 / 21275
↖ ↑ ↗
← S 47.241949°
W 15.974121°		 ← 829.38 m → S 47.241949°
W 15.963135°		 →
↑
829.31 m
↓
↑
829.31 m
↓
S 47.249407°
W 15.974121°		 ← 829.26 m →
687 764 m²		 S 47.249407°
W 15.963135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455642700195312 y=0.649276733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455642700195312 × 215)
    floor (0.455642700195312 × 32768)
    floor (14930.5)     		tx = 14930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649276733398438 × 215)
    floor (0.649276733398438 × 32768)
    floor (21275.5)     		ty = 21275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14930 / 21275 ti = "15/14930/21275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14930/21275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14930 ÷ 215
    14930 ÷ 32768     		x = 0.45562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21275 ÷ 215
    21275 ÷ 32768     		y = 0.649261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45562744140625 × 2 - 1) × π
    -0.0887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27880101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.29852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.937837504166779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27880101} λ = -0.27880101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937837504166779))-π/2
    2×atan(0.391473480447268)-π/2
    2×0.373134387408477-π/2
    0.746268774816954-1.57079632675     		φ = -0.82452755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27880101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.974121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82452755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.241949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14930 KachelY 21275 -0.27880101 -0.82452755 -15.974121 -47.241949
    Oben rechts KachelX + 1 14931 KachelY 21275 -0.27860926 -0.82452755 -15.963135 -47.241949
    Unten links KachelX 14930 KachelY + 1 21276 -0.27880101 -0.82465772 -15.974121 -47.249407
    Unten rechts KachelX + 1 14931 KachelY + 1 21276 -0.27860926 -0.82465772 -15.963135 -47.249407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82452755--0.82465772) × R
    0.000130170000000041 × 6371000     		dl = 829.313070000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82452755--0.82465772) × R
    0.000130170000000041 × 6371000     		dr = 829.313070000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27880101--0.27860926) × cos(-0.82452755) × R
    0.000191749999999991 × 0.678903926980642 × 6371000     		do = 829.375684178645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27880101--0.27860926) × cos(-0.82465772) × R
    0.000191749999999991 × 0.678808346885465 × 6371000     		du = 829.258919782858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82452755)-sin(-0.82465772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678903926980642-0.678808346885465)×R²
    abs(-0.27860926--0.27880101)×9.55800951770724e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55800951770724e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55800951770724e-05×40589641000000     		ar = 687763.678680861m²