Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14930 / 10900
↖ ↑ ↗
← N 75.989521°
W 97.987060°		 ← 147.87 m → N 75.989521°
W 97.981568°		 →
↑
147.87 m
↓
↑
147.87 m
↓
N 75.988191°
W 97.987060°		 ← 147.89 m →
21 867 m²		 N 75.988191°
W 97.981568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227821350097656 y=0.166328430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227821350097656 × 216)
    floor (0.227821350097656 × 65536)
    floor (14930.5)     		tx = 14930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166328430175781 × 216)
    floor (0.166328430175781 × 65536)
    floor (10900.5)     		ty = 10900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14930 / 10900 ti = "16/14930/10900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14930/10900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14930 ÷ 216
    14930 ÷ 65536     		x = 0.227813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10900 ÷ 216
    10900 ÷ 65536     		y = 0.16632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.54437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71019683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16632080078125 × 2 - 1) × π
    0.6673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09656824178278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71019683} λ = -1.71019683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09656824178278))-π/2
    2×atan(8.13819362325363)-π/2
    2×1.4485318287959-π/2
    2.8970636575918-1.57079632675     		φ = 1.32626733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71019683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32626733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.989521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14930 KachelY 10900 -1.71019683 1.32626733 -97.987060 75.989521
    Oben rechts KachelX + 1 14931 KachelY 10900 -1.71010096 1.32626733 -97.981568 75.989521
    Unten links KachelX 14930 KachelY + 1 10901 -1.71019683 1.32624412 -97.987060 75.988191
    Unten rechts KachelX + 1 14931 KachelY + 1 10901 -1.71010096 1.32624412 -97.981568 75.988191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32626733-1.32624412) × R
    2.32100000001623e-05 × 6371000     		dl = 147.870910001034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32626733-1.32624412) × R
    2.32100000001623e-05 × 6371000     		dr = 147.870910001034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71019683--1.71010096) × cos(1.32626733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24209936011118 × 6371000     		do = 147.871328280731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71019683--1.71010096) × cos(1.32624412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242121879582405 × 6371000     		du = 147.885082898342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32626733)-sin(1.32624412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24209936011118-0.242121879582405)×R²
    abs(-1.71010096--1.71019683)×2.25194712250298e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25194712250298e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25194712250298e-05×40589641000000     		ar = 21866.8848310739m²