Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1493 / 2526
↖ ↑ ↗
← S 38.685510°
W 48.779297°		 ← 7 628.68 m → S 38.685510°
W 48.691406°		 →
↑
7 625 m
↓
↑
7 625 m
↓
S 38.754083°
W 48.779297°		 ← 7 621.36 m →
58 140 836 m²		 S 38.754083°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3646240234375 y=0.6168212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3646240234375 × 212)
    floor (0.3646240234375 × 4096)
    floor (1493.5)     		tx = 1493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6168212890625 × 212)
    floor (0.6168212890625 × 4096)
    floor (2526.5)     		ty = 2526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1493 / 2526 ti = "12/1493/2526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1493/2526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1493 ÷ 212
    1493 ÷ 4096     		x = 0.364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2526 ÷ 212
    2526 ÷ 4096     		y = 0.61669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.27099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85135934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61669921875 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.733242816588379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85135934} λ = -0.85135934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733242816588379))-π/2
    2×atan(0.480348778729936)-π/2
    2×0.447803404343322-π/2
    0.895606808686645-1.57079632675     		φ = -0.67518952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85135934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67518952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.685510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1493 KachelY 2526 -0.85135934 -0.67518952 -48.779297 -38.685510
    Oben rechts KachelX + 1 1494 KachelY 2526 -0.84982536 -0.67518952 -48.691406 -38.685510
    Unten links KachelX 1493 KachelY + 1 2527 -0.85135934 -0.67638635 -48.779297 -38.754083
    Unten rechts KachelX + 1 1494 KachelY + 1 2527 -0.84982536 -0.67638635 -48.691406 -38.754083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67518952--0.67638635) × R
    0.00119683000000004 × 6371000     		dl = 7625.00393000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67518952--0.67638635) × R
    0.00119683000000004 × 6371000     		dr = 7625.00393000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85135934--0.84982536) × cos(-0.67518952) × R
    0.00153398000000005 × 0.78058850657304 × 6371000     		do = 7628.68099924079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85135934--0.84982536) × cos(-0.67638635) × R
    0.00153398000000005 × 0.779839874768796 × 6371000     		du = 7621.36463066455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67518952)-sin(-0.67638635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78058850657304-0.779839874768796)×R²
    abs(-0.84982536--0.85135934)×0.000748631804243671×R²
    0.00153398000000005×0.000748631804243671×6371000²
    0.00153398000000005×0.000748631804243671×40589641000000     		ar = 58140835.870449m²