Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14929 / 8888
↖ ↑ ↗
← N 63.273182°
W 15.985108°		 ← 549.42 m → N 63.273182°
W 15.974121°		 →
↑
549.50 m
↓
↑
549.50 m
↓
N 63.268241°
W 15.985108°		 ← 549.51 m →
301 930 m²		 N 63.268241°
W 15.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455612182617188 y=0.271255493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455612182617188 × 215)
    floor (0.455612182617188 × 32768)
    floor (14929.5)     		tx = 14929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271255493164062 × 215)
    floor (0.271255493164062 × 32768)
    floor (8888.5)     		ty = 8888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14929 / 8888 ti = "15/14929/8888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14929/8888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14929 ÷ 215
    14929 ÷ 32768     		x = 0.455596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8888 ÷ 215
    8888 ÷ 32768     		y = 0.271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271240234375 × 2 - 1) × π
    0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27899276} λ = -0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43733999820776))-π/2
    2×atan(4.20948367732573)-π/2
    2×1.33756084196913-π/2
    2.67512168393826-1.57079632675     		φ = 1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14929 KachelY 8888 -0.27899276 1.10432536 -15.985108 63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 14930 KachelY 8888 -0.27880101 1.10432536 -15.974121 63.273182
    Unten links KachelX 14929 KachelY + 1 8889 -0.27899276 1.10423911 -15.985108 63.268241
    Unten rechts KachelX + 1 14930 KachelY + 1 8889 -0.27880101 1.10423911 -15.974121 63.268241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10432536-1.10423911) × R
    8.62500000000654e-05 × 6371000     		dl = 549.498750000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10432536-1.10423911) × R
    8.62500000000654e-05 × 6371000     		dr = 549.498750000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27899276--0.27880101) × cos(1.10432536) × R
    0.000191749999999991 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 549.416490706006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27899276--0.27880101) × cos(1.10423911) × R
    0.000191749999999991 × 0.449814131141177 × 6371000     		du = 549.510597806682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10432536)-sin(1.10423911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.449814131141177)×R²
    abs(-0.27880101--0.27899276)×7.70334619455415e-05×R²
    0.000191749999999991×7.70334619455415e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.70334619455415e-05×40589641000000     		ar = 301929.530926483m²