Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14929 / 21274
↖ ↑ ↗
← S 47.234489°
W 15.985108°		 ← 829.49 m → S 47.234489°
W 15.974121°		 →
↑
829.44 m
↓
↑
829.44 m
↓
S 47.241949°
W 15.985108°		 ← 829.38 m →
687 966 m²		 S 47.241949°
W 15.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455612182617188 y=0.649246215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455612182617188 × 215)
    floor (0.455612182617188 × 32768)
    floor (14929.5)     		tx = 14929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649246215820312 × 215)
    floor (0.649246215820312 × 32768)
    floor (21274.5)     		ty = 21274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14929 / 21274 ti = "15/14929/21274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14929/21274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14929 ÷ 215
    14929 ÷ 32768     		x = 0.455596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21274 ÷ 215
    21274 ÷ 32768     		y = 0.64923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937645756568298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27899276} λ = -0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937645756568298))-π/2
    2×atan(0.391548551744152)-π/2
    2×0.373199481088994-π/2
    0.746398962177987-1.57079632675     		φ = -0.82439736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82439736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.234489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14929 KachelY 21274 -0.27899276 -0.82439736 -15.985108 -47.234489
    Oben rechts KachelX + 1 14930 KachelY 21274 -0.27880101 -0.82439736 -15.974121 -47.234489
    Unten links KachelX 14929 KachelY + 1 21275 -0.27899276 -0.82452755 -15.985108 -47.241949
    Unten rechts KachelX + 1 14930 KachelY + 1 21275 -0.27880101 -0.82452755 -15.974121 -47.241949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82439736--0.82452755) × R
    0.00013019000000003 × 6371000     		dl = 829.440490000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82439736--0.82452755) × R
    0.00013019000000003 × 6371000     		dr = 829.440490000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27899276--0.27880101) × cos(-0.82439736) × R
    0.000191749999999991 × 0.67899951025509 × 6371000     		do = 829.492452458354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27899276--0.27880101) × cos(-0.82452755) × R
    0.000191749999999991 × 0.678903926980642 × 6371000     		du = 829.375684178645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82439736)-sin(-0.82452755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67899951025509-0.678903926980642)×R²
    abs(-0.27880101--0.27899276)×9.55832744480301e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55832744480301e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55832744480301e-05×40589641000000     		ar = 687966.201021031m²