Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14929 / 14127
↖ ↑ ↗
← N 24.056496°
W 15.985108°		 ← 1 115.53 m → N 24.056496°
W 15.974121°		 →
↑
1 115.56 m
↓
↑
1 115.56 m
↓
N 24.046464°
W 15.985108°		 ← 1 115.62 m →
1 244 494 m²		 N 24.046464°
W 15.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455612182617188 y=0.431137084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455612182617188 × 215)
    floor (0.455612182617188 × 32768)
    floor (14929.5)     		tx = 14929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431137084960938 × 215)
    floor (0.431137084960938 × 32768)
    floor (14127.5)     		ty = 14127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14929 / 14127 ti = "15/14929/14127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14929/14127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14929 ÷ 215
    14929 ÷ 32768     		x = 0.455596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14127 ÷ 215
    14127 ÷ 32768     		y = 0.431121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431121826171875 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.432774329769867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27899276} λ = -0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432774329769867))-π/2
    2×atan(1.54152830439772)-π/2
    2×0.995330698520987-π/2
    1.99066139704197-1.57079632675     		φ = 0.41986507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41986507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.056496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14929 KachelY 14127 -0.27899276 0.41986507 -15.985108 24.056496
    Oben rechts KachelX + 1 14930 KachelY 14127 -0.27880101 0.41986507 -15.974121 24.056496
    Unten links KachelX 14929 KachelY + 1 14128 -0.27899276 0.41968997 -15.985108 24.046464
    Unten rechts KachelX + 1 14930 KachelY + 1 14128 -0.27880101 0.41968997 -15.974121 24.046464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41986507-0.41968997) × R
    0.000175099999999984 × 6371000     		dl = 1115.5620999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41986507-0.41968997) × R
    0.000175099999999984 × 6371000     		dr = 1115.5620999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27899276--0.27880101) × cos(0.41986507) × R
    0.000191749999999991 × 0.913143951118176 × 6371000     		do = 1115.53249158599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27899276--0.27880101) × cos(0.41968997) × R
    0.000191749999999991 × 0.91321531440113 × 6371000     		du = 1115.61967177346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41986507)-sin(0.41968997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913143951118176-0.91321531440113)×R²
    abs(-0.27880101--0.27899276)×7.13632829536515e-05×R²
    0.000191749999999991×7.13632829536515e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.13632829536515e-05×40589641000000     		ar = 1244494.399568m²