Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14929 / 10897
↖ ↑ ↗
← N 75.993509°
W 97.992553°		 ← 147.83 m → N 75.993509°
W 97.987060°		 →
↑
147.81 m
↓
↑
147.81 m
↓
N 75.992180°
W 97.992553°		 ← 147.84 m →
21 851 m²		 N 75.992180°
W 97.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227806091308594 y=0.166282653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227806091308594 × 216)
    floor (0.227806091308594 × 65536)
    floor (14929.5)     		tx = 14929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166282653808594 × 216)
    floor (0.166282653808594 × 65536)
    floor (10897.5)     		ty = 10897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14929 / 10897 ti = "16/14929/10897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14929/10897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14929 ÷ 216
    14929 ÷ 65536     		x = 0.227798461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10897 ÷ 216
    10897 ÷ 65536     		y = 0.166275024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227798461914062 × 2 - 1) × π
    -0.544403076171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71029270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166275024414062 × 2 - 1) × π
    0.667449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0968558631805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71029270} λ = -1.71029270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0968558631805))-π/2
    2×atan(8.14053467853112)-π/2
    2×1.44856664041635-π/2
    2.89713328083271-1.57079632675     		φ = 1.32633695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71029270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.992553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32633695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.993509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14929 KachelY 10897 -1.71029270 1.32633695 -97.992553 75.993509
    Oben rechts KachelX + 1 14930 KachelY 10897 -1.71019683 1.32633695 -97.987060 75.993509
    Unten links KachelX 14929 KachelY + 1 10898 -1.71029270 1.32631375 -97.992553 75.992180
    Unten rechts KachelX + 1 14930 KachelY + 1 10898 -1.71019683 1.32631375 -97.987060 75.992180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32633695-1.32631375) × R
    2.3200000000001e-05 × 6371000     		dl = 147.807200000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32633695-1.32631375) × R
    2.3200000000001e-05 × 6371000     		dr = 147.807200000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71029270--1.71019683) × cos(1.32633695) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.242031810617717 × 6371000     		do = 147.830069876597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71029270--1.71019683) × cos(1.32631375) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.242054320777483 × 6371000     		du = 147.843818806882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32633695)-sin(1.32631375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242031810617717-0.242054320777483)×R²
    abs(-1.71019683--1.71029270)×2.25101597650657e-05×R²
    9.58700000002199e-05×2.25101597650657e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×2.25101597650657e-05×40589641000000     		ar = 21851.3648003883m²