Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14928 / 8889
↖ ↑ ↗
← N 63.268241°
W 15.996094°		 ← 549.48 m → N 63.268241°
W 15.985108°		 →
↑
549.50 m
↓
↑
549.50 m
↓
N 63.263299°
W 15.996094°		 ← 549.58 m →
301 965 m²		 N 63.263299°
W 15.985108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455581665039062 y=0.271286010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455581665039062 × 215)
    floor (0.455581665039062 × 32768)
    floor (14928.5)     		tx = 14928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271286010742188 × 215)
    floor (0.271286010742188 × 32768)
    floor (8889.5)     		ty = 8889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14928 / 8889 ti = "15/14928/8889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14928/8889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14928 ÷ 215
    14928 ÷ 32768     		x = 0.45556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8889 ÷ 215
    8889 ÷ 32768     		y = 0.271270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45556640625 × 2 - 1) × π
    -0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271270751953125 × 2 - 1) × π
    0.45745849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43714825060928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27918450} λ = -0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43714825060928))-π/2
    2×atan(4.20867659632015)-π/2
    2×1.33751772027229-π/2
    2.67503544054457-1.57079632675     		φ = 1.10423911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10423911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.268241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14928 KachelY 8889 -0.27918450 1.10423911 -15.996094 63.268241
    Oben rechts KachelX + 1 14929 KachelY 8889 -0.27899276 1.10423911 -15.985108 63.268241
    Unten links KachelX 14928 KachelY + 1 8890 -0.27918450 1.10415286 -15.996094 63.263299
    Unten rechts KachelX + 1 14929 KachelY + 1 8890 -0.27899276 1.10415286 -15.985108 63.263299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10423911-1.10415286) × R
    8.62500000000654e-05 × 6371000     		dl = 549.498750000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10423911-1.10415286) × R
    8.62500000000654e-05 × 6371000     		dr = 549.498750000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27918450--0.27899276) × cos(1.10423911) × R
    0.000191739999999996 × 0.449814131141177 × 6371000     		do = 549.481940148402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27918450--0.27899276) × cos(1.10415286) × R
    0.000191739999999996 × 0.449891161256927 × 6371000     		du = 549.576038253646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10423911)-sin(1.10415286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449814131141177-0.449891161256927)×R²
    abs(-0.27899276--0.27918450)×7.70301157501097e-05×R²
    0.000191739999999996×7.70301157501097e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.70301157501097e-05×40589641000000     		ar = 301965.49284187m²