Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14928 / 14786
↖ ↑ ↗
← S 80.879796°
E148.007813°		 ← 387.26 m → S 80.879796°
E148.029785°		 →
↑
387.17 m
↓
↑
387.17 m
↓
S 80.883277°
E148.007813°		 ← 387.12 m →
149 907 m²		 S 80.883277°
E148.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911163330078125 y=0.902496337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911163330078125 × 214)
    floor (0.911163330078125 × 16384)
    floor (14928.5)     		tx = 14928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902496337890625 × 214)
    floor (0.902496337890625 × 16384)
    floor (14786.5)     		ty = 14786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14928 / 14786 ti = "14/14928/14786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14928/14786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14928 ÷ 214
    14928 ÷ 16384     		x = 0.9111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14786 ÷ 214
    14786 ÷ 16384     		y = 0.9024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58322365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.804931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5287673287572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58322365} λ = 2.58322365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5287673287572))-π/2
    2×atan(0.0797572742143887)-π/2
    2×0.0795887988439081-π/2
    0.159177597687816-1.57079632675     		φ = -1.41161873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58322365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41161873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.879796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14928 KachelY 14786 2.58322365 -1.41161873 148.007813 -80.879796
    Oben rechts KachelX + 1 14929 KachelY 14786 2.58360714 -1.41161873 148.029785 -80.879796
    Unten links KachelX 14928 KachelY + 1 14787 2.58322365 -1.41167950 148.007813 -80.883277
    Unten rechts KachelX + 1 14929 KachelY + 1 14787 2.58360714 -1.41167950 148.029785 -80.883277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41161873--1.41167950) × R
    6.07699999999323e-05 × 6371000     		dl = 387.165669999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41161873--1.41167950) × R
    6.07699999999323e-05 × 6371000     		dr = 387.165669999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58322365-2.58360714) × cos(-1.41161873) × R
    0.000383489999999931 × 0.158506253946558 × 6371000     		do = 387.264823949657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58322365-2.58360714) × cos(-1.41167950) × R
    0.000383489999999931 × 0.158446251909876 × 6371000     		du = 387.118226086205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41161873)-sin(-1.41167950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158506253946558-0.158446251909876)×R²
    abs(2.58360714-2.58322365)×6.00020366822995e-05×R²
    0.000383489999999931×6.00020366822995e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.00020366822995e-05×40589641000000     		ar = 149907.266247947m²