Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14927 / 8918
↖ ↑ ↗
← N 63.124572°
W 16.007080°		 ← 552.24 m → N 63.124572°
W 15.996094°		 →
↑
552.24 m
↓
↑
552.24 m
↓
N 63.119606°
W 16.007080°		 ← 552.34 m →
304 997 m²		 N 63.119606°
W 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455551147460938 y=0.272171020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455551147460938 × 215)
    floor (0.455551147460938 × 32768)
    floor (14927.5)     		tx = 14927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272171020507812 × 215)
    floor (0.272171020507812 × 32768)
    floor (8918.5)     		ty = 8918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14927 / 8918 ti = "15/14927/8918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14927/8918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14927 ÷ 215
    14927 ÷ 32768     		x = 0.455535888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8918 ÷ 215
    8918 ÷ 32768     		y = 0.27215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455535888671875 × 2 - 1) × π
    -0.08892822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27937625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27215576171875 × 2 - 1) × π
    0.4556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43158757025336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27937625} λ = -0.27937625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43158757025336))-π/2
    2×atan(4.18533843919936)-π/2
    2×1.33626397458544-π/2
    2.67252794917087-1.57079632675     		φ = 1.10173162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27937625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.007080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10173162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.124572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14927 KachelY 8918 -0.27937625 1.10173162 -16.007080 63.124572
    Oben rechts KachelX + 1 14928 KachelY 8918 -0.27918450 1.10173162 -15.996094 63.124572
    Unten links KachelX 14927 KachelY + 1 8919 -0.27937625 1.10164494 -16.007080 63.119606
    Unten rechts KachelX + 1 14928 KachelY + 1 8919 -0.27918450 1.10164494 -15.996094 63.119606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10173162-1.10164494) × R
    8.66800000001167e-05 × 6371000     		dl = 552.238280000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10173162-1.10164494) × R
    8.66800000001167e-05 × 6371000     		dr = 552.238280000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27937625--0.27918450) × cos(1.10173162) × R
    0.000191749999999991 × 0.45205220965239 × 6371000     		do = 552.244722360562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27937625--0.27918450) × cos(1.10164494) × R
    0.000191749999999991 × 0.452129525775519 × 6371000     		du = 552.339174771234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10173162)-sin(1.10164494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45205220965239-0.452129525775519)×R²
    abs(-0.27918450--0.27937625)×7.73161231287789e-05×R²
    0.000191749999999991×7.73161231287789e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.73161231287789e-05×40589641000000     		ar = 304996.755925237m²