Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14927 / 10928
↖ ↑ ↗
← N 75.952235°
W 98.003540°		 ← 148.26 m → N 75.952235°
W 97.998047°		 →
↑
148.32 m
↓
↑
148.32 m
↓
N 75.950901°
W 98.003540°		 ← 148.27 m →
21 990 m²		 N 75.950901°
W 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227775573730469 y=0.166755676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227775573730469 × 216)
    floor (0.227775573730469 × 65536)
    floor (14927.5)     		tx = 14927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166755676269531 × 216)
    floor (0.166755676269531 × 65536)
    floor (10928.5)     		ty = 10928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14927 / 10928 ti = "16/14927/10928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14927/10928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14927 ÷ 216
    14927 ÷ 65536     		x = 0.227767944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10928 ÷ 216
    10928 ÷ 65536     		y = 0.166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227767944335938 × 2 - 1) × π
    -0.544464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71048445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166748046875 × 2 - 1) × π
    0.66650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09388377540405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71048445} λ = -1.71048445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09388377540405))-π/2
    2×atan(8.11637621324229)-π/2
    2×1.44820645146744-π/2
    2.89641290293487-1.57079632675     		φ = 1.32561658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71048445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.003540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32561658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.952235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14927 KachelY 10928 -1.71048445 1.32561658 -98.003540 75.952235
    Oben rechts KachelX + 1 14928 KachelY 10928 -1.71038858 1.32561658 -97.998047 75.952235
    Unten links KachelX 14927 KachelY + 1 10929 -1.71048445 1.32559330 -98.003540 75.950901
    Unten rechts KachelX + 1 14928 KachelY + 1 10929 -1.71038858 1.32559330 -97.998047 75.950901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32561658-1.32559330) × R
    2.32799999999589e-05 × 6371000     		dl = 148.316879999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32561658-1.32559330) × R
    2.32799999999589e-05 × 6371000     		dr = 148.316879999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71048445--1.71038858) × cos(1.32561658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242730699944041 × 6371000     		do = 148.256942929357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71048445--1.71038858) × cos(1.32559330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242753283659846 × 6371000     		du = 148.270736786772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32561658)-sin(1.32559330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242730699944041-0.242753283659846)×R²
    abs(-1.71038858--1.71048445)×2.25837158052133e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25837158052133e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25837158052133e-05×40589641000000     		ar = 21990.030145623m²