Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14926 / 16215
↖ ↑ ↗
← N 79.258194°
W139.004517°		 ← 56.93 m → N 79.258194°
W139.001770°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.257682°
W139.004517°		 ← 56.93 m →
3 239 m²		 N 79.257682°
W139.001770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113880157470703 y=0.123714447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113880157470703 × 217)
    floor (0.113880157470703 × 131072)
    floor (14926.5)     		tx = 14926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123714447021484 × 217)
    floor (0.123714447021484 × 131072)
    floor (16215.5)     		ty = 16215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14926 / 16215 ti = "17/14926/16215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14926/16215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14926 ÷ 217
    14926 ÷ 131072     		x = 0.113876342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16215 ÷ 217
    16215 ÷ 131072     		y = 0.123710632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113876342773438 × 2 - 1) × π
    -0.772247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42608649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123710632324219 × 2 - 1) × π
    0.752578735351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.36429582616079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42608649} λ = -2.42608649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36429582616079))-π/2
    2×atan(10.6365462021926)-π/2
    2×1.47705638482266-π/2
    2.95411276964532-1.57079632675     		φ = 1.38331644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42608649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.004517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38331644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.258194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14926 KachelY 16215 -2.42608649 1.38331644 -139.004517 79.258194
    Oben rechts KachelX + 1 14927 KachelY 16215 -2.42603855 1.38331644 -139.001770 79.258194
    Unten links KachelX 14926 KachelY + 1 16216 -2.42608649 1.38330751 -139.004517 79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 14927 KachelY + 1 16216 -2.42603855 1.38330751 -139.001770 79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38331644-1.38330751) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38331644-1.38330751) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42608649--2.42603855) × cos(1.38331644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186383536037312 × 6371000     		do = 56.9263294179755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42608649--2.42603855) × cos(1.38330751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 56.9290090745942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38331644)-sin(1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186383536037312-0.186392309550045)×R²
    abs(-2.42603855--2.42608649)×8.77351273251281e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77351273251281e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77351273251281e-06×40589641000000     		ar = 3238.78759417905m²