Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14924 / 7614
↖ ↑ ↗
← N 68.918910°
W 16.040039°		 ← 439.39 m → N 68.918910°
W 16.029053°		 →
↑
439.47 m
↓
↑
439.47 m
↓
N 68.914957°
W 16.040039°		 ← 439.47 m →
193 115 m²		 N 68.914957°
W 16.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455459594726562 y=0.232376098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455459594726562 × 215)
    floor (0.455459594726562 × 32768)
    floor (14924.5)     		tx = 14924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232376098632812 × 215)
    floor (0.232376098632812 × 32768)
    floor (7614.5)     		ty = 7614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14924 / 7614 ti = "15/14924/7614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14924/7614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14924 ÷ 215
    14924 ÷ 32768     		x = 0.4554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7614 ÷ 215
    7614 ÷ 32768     		y = 0.23236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23236083984375 × 2 - 1) × π
    0.5352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68162643867157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27995149} λ = -0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68162643867157))-π/2
    2×atan(5.37428981945692)-π/2
    2×1.38682910791588-π/2
    2.77365821583176-1.57079632675     		φ = 1.20286189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20286189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.918910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14924 KachelY 7614 -0.27995149 1.20286189 -16.040039 68.918910
    Oben rechts KachelX + 1 14925 KachelY 7614 -0.27975975 1.20286189 -16.029053 68.918910
    Unten links KachelX 14924 KachelY + 1 7615 -0.27995149 1.20279291 -16.040039 68.914957
    Unten rechts KachelX + 1 14925 KachelY + 1 7615 -0.27975975 1.20279291 -16.029053 68.914957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20286189-1.20279291) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dl = 439.471579999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20286189-1.20279291) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dr = 439.471579999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27995149--0.27975975) × cos(1.20286189) × R
    0.000191740000000051 × 0.359688880849042 × 6371000     		do = 439.387138855282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27995149--0.27975975) × cos(1.20279291) × R
    0.000191740000000051 × 0.359753243320205 × 6371000     		du = 439.465762475748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20286189)-sin(1.20279291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359688880849042-0.359753243320205)×R²
    abs(-0.27975975--0.27995149)×6.43624711629265e-05×R²
    0.000191740000000051×6.43624711629265e-05×6371000²
    0.000191740000000051×6.43624711629265e-05×40589641000000     		ar = 193115.436644097m²