Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14924 / 16204
↖ ↑ ↗
← N 79.263824°
W139.010010°		 ← 56.88 m → N 79.263824°
W139.007263°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.263312°
W139.010010°		 ← 56.89 m →
3 236 m²		 N 79.263312°
W139.007263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113864898681641 y=0.123630523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113864898681641 × 217)
    floor (0.113864898681641 × 131072)
    floor (14924.5)     		tx = 14924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123630523681641 × 217)
    floor (0.123630523681641 × 131072)
    floor (16204.5)     		ty = 16204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14924 / 16204 ti = "17/14924/16204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14924/16204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14924 ÷ 217
    14924 ÷ 131072     		x = 0.113861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16204 ÷ 217
    16204 ÷ 131072     		y = 0.123626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.77227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42618236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123626708984375 × 2 - 1) × π
    0.75274658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36482313205661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42618236} λ = -2.42618236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36482313205661))-π/2
    2×atan(10.64215639473)-π/2
    2×1.47710551266373-π/2
    2.95421102532746-1.57079632675     		φ = 1.38341470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42618236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.010010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38341470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.263824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14924 KachelY 16204 -2.42618236 1.38341470 -139.010010 79.263824
    Oben rechts KachelX + 1 14925 KachelY 16204 -2.42613443 1.38341470 -139.007263 79.263824
    Unten links KachelX 14924 KachelY + 1 16205 -2.42618236 1.38340577 -139.010010 79.263312
    Unten rechts KachelX + 1 14925 KachelY + 1 16205 -2.42613443 1.38340577 -139.007263 79.263312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38341470-1.38340577) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dl = 56.8930300008226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38341470-1.38340577) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dr = 56.8930300008226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42618236--2.42613443) × cos(1.38341470) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		do = 56.8849755487193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42618236--2.42613443) × cos(1.38340577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186295770617818 × 6371000     		du = 56.8876546963061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38341470)-sin(1.38340577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186286996941579-0.186295770617818)×R²
    abs(-2.42613443--2.42618236)×8.77367623866587e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.77367623866587e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.77367623866587e-06×40589641000000     		ar = 3236.43483298711m²