Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14922 / 8886
↖ ↑ ↗
← N 63.283062°
W 16.062012°		 ← 549.23 m → N 63.283062°
W 16.051025°		 →
↑
549.24 m
↓
↑
549.24 m
↓
N 63.278123°
W 16.062012°		 ← 549.32 m →
301 686 m²		 N 63.278123°
W 16.051025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455398559570312 y=0.271194458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455398559570312 × 215)
    floor (0.455398559570312 × 32768)
    floor (14922.5)     		tx = 14922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271194458007812 × 215)
    floor (0.271194458007812 × 32768)
    floor (8886.5)     		ty = 8886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14922 / 8886 ti = "15/14922/8886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14922/8886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14922 ÷ 215
    14922 ÷ 32768     		x = 0.45538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8886 ÷ 215
    8886 ÷ 32768     		y = 0.27117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.0892333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28033499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27117919921875 × 2 - 1) × π
    0.4576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43772349340472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28033499} λ = -0.28033499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43772349340472))-π/2
    2×atan(4.2110983036786)-π/2
    2×1.3376470632104-π/2
    2.6752941264208-1.57079632675     		φ = 1.10449780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28033499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10449780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.283062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14922 KachelY 8886 -0.28033499 1.10449780 -16.062012 63.283062
    Oben rechts KachelX + 1 14923 KachelY 8886 -0.28014324 1.10449780 -16.051025 63.283062
    Unten links KachelX 14922 KachelY + 1 8887 -0.28033499 1.10441159 -16.062012 63.278123
    Unten rechts KachelX + 1 14923 KachelY + 1 8887 -0.28014324 1.10441159 -16.051025 63.278123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10449780-1.10441159) × R
    8.62100000000865e-05 × 6371000     		dl = 549.243910000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10449780-1.10441159) × R
    8.62100000000865e-05 × 6371000     		dr = 549.243910000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28033499--0.28014324) × cos(1.10449780) × R
    0.000191749999999991 × 0.449583074313359 × 6371000     		do = 549.228329716839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28033499--0.28014324) × cos(1.10441159) × R
    0.000191749999999991 × 0.449660078735659 × 6371000     		du = 549.322401341544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10449780)-sin(1.10441159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449583074313359-0.449660078735659)×R²
    abs(-0.28014324--0.28033499)×7.7004422300353e-05×R²
    0.000191749999999991×7.7004422300353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.7004422300353e-05×40589641000000     		ar = 301686.149617465m²