Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14921 / 5723
↖ ↑ ↗
← N 81.444224°
W 98.036499°		 ← 90.88 m → N 81.444224°
W 98.031006°		 →
↑
90.85 m
↓
↑
90.85 m
↓
N 81.443407°
W 98.036499°		 ← 90.89 m →
8 257 m²		 N 81.443407°
W 98.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227684020996094 y=0.0873336791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227684020996094 × 216)
    floor (0.227684020996094 × 65536)
    floor (14921.5)     		tx = 14921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0873336791992188 × 216)
    floor (0.0873336791992188 × 65536)
    floor (5723.5)     		ty = 5723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14921 / 5723 ti = "16/14921/5723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14921/5723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14921 ÷ 216
    14921 ÷ 65536     		x = 0.227676391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5723 ÷ 216
    5723 ÷ 65536     		y = 0.0873260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.544647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71105970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0873260498046875 × 2 - 1) × π
    0.825347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59290690044884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71105970} λ = -1.71105970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59290690044884))-π/2
    2×atan(13.3685762956157)-π/2
    2×1.49613309507968-π/2
    2.99226619015936-1.57079632675     		φ = 1.42146986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71105970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42146986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.444224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14921 KachelY 5723 -1.71105970 1.42146986 -98.036499 81.444224
    Oben rechts KachelX + 1 14922 KachelY 5723 -1.71096382 1.42146986 -98.031006 81.444224
    Unten links KachelX 14921 KachelY + 1 5724 -1.71105970 1.42145560 -98.036499 81.443407
    Unten rechts KachelX + 1 14922 KachelY + 1 5724 -1.71096382 1.42145560 -98.031006 81.443407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42146986-1.42145560) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dl = 90.850459999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42146986-1.42145560) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dr = 90.850459999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71105970--1.71096382) × cos(1.42146986) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.148772128474639 × 6371000     		do = 90.877674861634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71105970--1.71096382) × cos(1.42145560) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.148786229767176 × 6371000     		du = 90.8862886570504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42146986)-sin(1.42145560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148772128474639-0.148786229767176)×R²
    abs(-1.71096382--1.71105970)×1.4101292537344e-05×R²
    9.58800000001592e-05×1.4101292537344e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×1.4101292537344e-05×40589641000000     		ar = 8256.66984849554m²