Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14920 / 21271
↖ ↑ ↗
← S 47.212106°
W 16.083984°		 ← 829.80 m → S 47.212106°
W 16.072998°		 →
↑
829.76 m
↓
↑
829.76 m
↓
S 47.219568°
W 16.083984°		 ← 829.68 m →
688 485 m²		 S 47.219568°
W 16.072998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455337524414062 y=0.649154663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455337524414062 × 215)
    floor (0.455337524414062 × 32768)
    floor (14920.5)     		tx = 14920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649154663085938 × 215)
    floor (0.649154663085938 × 32768)
    floor (21271.5)     		ty = 21271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14920 / 21271 ti = "15/14920/21271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14920/21271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14920 ÷ 215
    14920 ÷ 32768     		x = 0.455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21271 ÷ 215
    21271 ÷ 32768     		y = 0.649139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.08935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28071848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.29827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.937070513772858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28071848} λ = -0.28071848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937070513772858))-π/2
    2×atan(0.391773852022577)-π/2
    2×0.373394817114324-π/2
    0.746789634228648-1.57079632675     		φ = -0.82400669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28071848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82400669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.212106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14920 KachelY 21271 -0.28071848 -0.82400669 -16.083984 -47.212106
    Oben rechts KachelX + 1 14921 KachelY 21271 -0.28052674 -0.82400669 -16.072998 -47.212106
    Unten links KachelX 14920 KachelY + 1 21272 -0.28071848 -0.82413693 -16.083984 -47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 14921 KachelY + 1 21272 -0.28052674 -0.82413693 -16.072998 -47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82400669--0.82413693) × R
    0.000130239999999948 × 6371000     		dl = 829.75903999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82400669--0.82413693) × R
    0.000130239999999948 × 6371000     		dr = 829.75903999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28071848--0.28052674) × cos(-0.82400669) × R
    0.000191739999999996 × 0.679286264407345 × 6371000     		do = 829.799485257967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28071848--0.28052674) × cos(-0.82413693) × R
    0.000191739999999996 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 829.682720431204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82400669)-sin(-0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679286264407345-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.28052674--0.28071848)×9.5585432861589e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5585432861589e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5585432861589e-05×40589641000000     		ar = 688485.181918477m²