Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1492 / 2525
↖ ↑ ↗
← S 38.616871°
W 48.867188°		 ← 7 635.99 m → S 38.616871°
W 48.779297°		 →
↑
7 632.33 m
↓
↑
7 632.33 m
↓
S 38.685510°
W 48.867188°		 ← 7 628.68 m →
58 252 528 m²		 S 38.685510°
W 48.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3643798828125 y=0.6165771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3643798828125 × 212)
    floor (0.3643798828125 × 4096)
    floor (1492.5)     		tx = 1492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6165771484375 × 212)
    floor (0.6165771484375 × 4096)
    floor (2525.5)     		ty = 2525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1492 / 2525 ti = "12/1492/2525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1492/2525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1492 ÷ 212
    1492 ÷ 4096     		x = 0.3642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2525 ÷ 212
    2525 ÷ 4096     		y = 0.616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85289332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.23291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.731708835800537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85289332} λ = -0.85289332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.731708835800537))-π/2
    2×atan(0.481086189970709)-π/2
    2×0.448402395199757-π/2
    0.896804790399513-1.57079632675     		φ = -0.67399154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85289332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.867188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67399154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.616871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1492 KachelY 2525 -0.85289332 -0.67399154 -48.867188 -38.616871
    Oben rechts KachelX + 1 1493 KachelY 2525 -0.85135934 -0.67399154 -48.779297 -38.616871
    Unten links KachelX 1492 KachelY + 1 2526 -0.85289332 -0.67518952 -48.867188 -38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 1493 KachelY + 1 2526 -0.85135934 -0.67518952 -48.779297 -38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67399154--0.67518952) × R
    0.00119798000000004 × 6371000     		dl = 7632.33058000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67399154--0.67518952) × R
    0.00119798000000004 × 6371000     		dr = 7632.33058000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85289332--0.85135934) × cos(-0.67399154) × R
    0.00153397999999993 × 0.781336737987498 × 6371000     		do = 7635.99345481247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85289332--0.85135934) × cos(-0.67518952) × R
    0.00153397999999993 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 7628.68099924023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67399154)-sin(-0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781336737987498-0.78058850657304)×R²
    abs(-0.85135934--0.85289332)×0.000748231414458234×R²
    0.00153397999999993×0.000748231414458234×6371000²
    0.00153397999999993×0.000748231414458234×40589641000000     		ar = 58252527.7814954m²