Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1492 / 1713
↖ ↑ ↗
← N 28.226970°
W 48.867188°		 ← 8 610.79 m → N 28.226970°
W 48.779297°		 →
↑
8 613.97 m
↓
↑
8 613.97 m
↓
N 28.149503°
W 48.867188°		 ← 8 617.03 m →
74 200 035 m²		 N 28.149503°
W 48.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3643798828125 y=0.4183349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3643798828125 × 212)
    floor (0.3643798828125 × 4096)
    floor (1492.5)     		tx = 1492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4183349609375 × 212)
    floor (0.4183349609375 × 4096)
    floor (1713.5)     		ty = 1713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1492 / 1713 ti = "12/1492/1713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1492/1713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1492 ÷ 212
    1492 ÷ 4096     		x = 0.3642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1713 ÷ 212
    1713 ÷ 4096     		y = 0.418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85289332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85289332} λ = -0.85289332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513883563927002))-π/2
    2×atan(1.67177103404912)-π/2
    2×1.03172494591144-π/2
    2.06344989182287-1.57079632675     		φ = 0.49265357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85289332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.867188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49265357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1492 KachelY 1713 -0.85289332 0.49265357 -48.867188 28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 1493 KachelY 1713 -0.85135934 0.49265357 -48.779297 28.226970
    Unten links KachelX 1492 KachelY + 1 1714 -0.85289332 0.49130151 -48.867188 28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 1493 KachelY + 1 1714 -0.85135934 0.49130151 -48.779297 28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49265357-0.49130151) × R
    0.00135205999999999 × 6371000     		dl = 8613.97425999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49265357-0.49130151) × R
    0.00135205999999999 × 6371000     		dr = 8613.97425999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85289332--0.85135934) × cos(0.49265357) × R
    0.00153397999999993 × 0.88108091489529 × 6371000     		do = 8610.79195716542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85289332--0.85135934) × cos(0.49130151) × R
    0.00153397999999993 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 8617.03369282462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49265357)-sin(0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88108091489529-0.881719587179151)×R²
    abs(-0.85135934--0.85289332)×0.000638672283861608×R²
    0.00153397999999993×0.000638672283861608×6371000²
    0.00153397999999993×0.000638672283861608×40589641000000     		ar = 74200034.6559406m²