Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14919 / 14671
↖ ↑ ↗
← S 80.470428°
E147.810059°		 ← 404.50 m → S 80.470428°
E147.832032°		 →
↑
404.43 m
↓
↑
404.43 m
↓
S 80.474065°
E147.810059°		 ← 404.35 m →
163 562 m²		 S 80.474065°
E147.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910614013671875 y=0.895477294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910614013671875 × 214)
    floor (0.910614013671875 × 16384)
    floor (14919.5)     		tx = 14919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895477294921875 × 214)
    floor (0.895477294921875 × 16384)
    floor (14671.5)     		ty = 14671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14919 / 14671 ti = "14/14919/14671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14919/14671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14919 ÷ 214
    14919 ÷ 16384     		x = 0.91058349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14671 ÷ 214
    14671 ÷ 16384     		y = 0.89544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91058349609375 × 2 - 1) × π
    0.8211669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57977219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.7908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48466538110675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57977219} λ = 2.57977219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48466538110675))-π/2
    2×atan(0.0833534414824066)-π/2
    2×0.08316120132739-π/2
    0.16632240265478-1.57079632675     		φ = -1.40447392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57977219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40447392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.470428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14919 KachelY 14671 2.57977219 -1.40447392 147.810059 -80.470428
    Oben rechts KachelX + 1 14920 KachelY 14671 2.58015569 -1.40447392 147.832032 -80.470428
    Unten links KachelX 14919 KachelY + 1 14672 2.57977219 -1.40453740 147.810059 -80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 14920 KachelY + 1 14672 2.58015569 -1.40453740 147.832032 -80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40447392--1.40453740) × R
    6.34799999998936e-05 × 6371000     		dl = 404.431079999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40447392--1.40453740) × R
    6.34799999998936e-05 × 6371000     		dr = 404.431079999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57977219-2.58015569) × cos(-1.40447392) × R
    0.00038349999999987 × 0.165556633327098 × 6371000     		do = 404.500962740344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57977219-2.58015569) × cos(-1.40453740) × R
    0.00038349999999987 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 404.348002932734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40447392)-sin(-1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165556633327098-0.165494028999507)×R²
    abs(2.58015569-2.57977219)×6.26043275910038e-05×R²
    0.00038349999999987×6.26043275910038e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.26043275910038e-05×40589641000000     		ar = 163561.830425367m²