Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14918 / 8910
↖ ↑ ↗
← N 63.164276°
W 16.105957°		 ← 551.49 m → N 63.164276°
W 16.094971°		 →
↑
551.54 m
↓
↑
551.54 m
↓
N 63.159316°
W 16.105957°		 ← 551.58 m →
304 193 m²		 N 63.159316°
W 16.094971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455276489257812 y=0.271926879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455276489257812 × 215)
    floor (0.455276489257812 × 32768)
    floor (14918.5)     		tx = 14918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271926879882812 × 215)
    floor (0.271926879882812 × 32768)
    floor (8910.5)     		ty = 8910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14918 / 8910 ti = "15/14918/8910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14918/8910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14918 ÷ 215
    14918 ÷ 32768     		x = 0.45526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8910 ÷ 215
    8910 ÷ 32768     		y = 0.27191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.0894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28110198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27191162109375 × 2 - 1) × π
    0.4561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4331215510412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28110198} λ = -0.28110198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4331215510412))-π/2
    2×atan(4.19176359472836)-π/2
    2×1.33661045715868-π/2
    2.67322091431735-1.57079632675     		φ = 1.10242459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28110198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.105957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10242459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.164276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14918 KachelY 8910 -0.28110198 1.10242459 -16.105957 63.164276
    Oben rechts KachelX + 1 14919 KachelY 8910 -0.28091023 1.10242459 -16.094971 63.164276
    Unten links KachelX 14918 KachelY + 1 8911 -0.28110198 1.10233802 -16.105957 63.159316
    Unten rechts KachelX + 1 14919 KachelY + 1 8911 -0.28091023 1.10233802 -16.094971 63.159316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10242459-1.10233802) × R
    8.65700000001191e-05 × 6371000     		dl = 551.537470000759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10242459-1.10233802) × R
    8.65700000001191e-05 × 6371000     		dr = 551.537470000759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28110198--0.28091023) × cos(1.10242459) × R
    0.000191749999999991 × 0.451433977826808 × 6371000     		do = 551.489466096831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28110198--0.28091023) × cos(1.10233802) × R
    0.000191749999999991 × 0.451511222937754 × 6371000     		du = 551.583831756234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10242459)-sin(1.10233802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451433977826808-0.451511222937754)×R²
    abs(-0.28091023--0.28110198)×7.72451109463113e-05×R²
    0.000191749999999991×7.72451109463113e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.72451109463113e-05×40589641000000     		ar = 304193.128151435m²