Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14918 / 14670
↖ ↑ ↗
← S 80.466790°
E147.788086°		 ← 404.65 m → S 80.466790°
E147.810059°		 →
↑
404.56 m
↓
↑
404.56 m
↓
S 80.470428°
E147.788086°		 ← 404.50 m →
163 675 m²		 S 80.470428°
E147.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910552978515625 y=0.895416259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910552978515625 × 214)
    floor (0.910552978515625 × 16384)
    floor (14918.5)     		tx = 14918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895416259765625 × 214)
    floor (0.895416259765625 × 16384)
    floor (14670.5)     		ty = 14670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14918 / 14670 ti = "14/14918/14670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14918/14670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14918 ÷ 214
    14918 ÷ 16384     		x = 0.9105224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14670 ÷ 214
    14670 ÷ 16384     		y = 0.8953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9105224609375 × 2 - 1) × π
    0.821044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57938869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8953857421875 × 2 - 1) × π
    -0.790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48428188590979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57938869} λ = 2.57938869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48428188590979))-π/2
    2×atan(0.0833854132569844)-π/2
    2×0.0831929524172402-π/2
    0.16638590483448-1.57079632675     		φ = -1.40441042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57938869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40441042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.466790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14918 KachelY 14670 2.57938869 -1.40441042 147.788086 -80.466790
    Oben rechts KachelX + 1 14919 KachelY 14670 2.57977219 -1.40441042 147.810059 -80.466790
    Unten links KachelX 14918 KachelY + 1 14671 2.57938869 -1.40447392 147.788086 -80.470428
    Unten rechts KachelX + 1 14919 KachelY + 1 14671 2.57977219 -1.40447392 147.810059 -80.470428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40441042--1.40447392) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dl = 404.558499999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40441042--1.40447392) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dr = 404.558499999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57938869-2.57977219) × cos(-1.40441042) × R
    0.00038349999999987 × 0.165619256711339 × 6371000     		do = 404.653969108658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57938869-2.57977219) × cos(-1.40447392) × R
    0.00038349999999987 × 0.165556633327098 × 6371000     		du = 404.500962740344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40441042)-sin(-1.40447392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165619256711339-0.165556633327098)×R²
    abs(2.57977219-2.57938869)×6.26233842412061e-05×R²
    0.00038349999999987×6.26233842412061e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.26233842412061e-05×40589641000000     		ar = 163675.252804088m²