Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14917 / 7618
↖ ↑ ↗
← N 68.903097°
W 16.116944°		 ← 439.72 m → N 68.903097°
W 16.105957°		 →
↑
439.73 m
↓
↑
439.73 m
↓
N 68.899143°
W 16.116944°		 ← 439.80 m →
193 376 m²		 N 68.899143°
W 16.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455245971679688 y=0.232498168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455245971679688 × 215)
    floor (0.455245971679688 × 32768)
    floor (14917.5)     		tx = 14917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232498168945312 × 215)
    floor (0.232498168945312 × 32768)
    floor (7618.5)     		ty = 7618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14917 / 7618 ti = "15/14917/7618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14917/7618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14917 ÷ 215
    14917 ÷ 32768     		x = 0.455230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7618 ÷ 215
    7618 ÷ 32768     		y = 0.23248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455230712890625 × 2 - 1) × π
    -0.08953857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28129373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23248291015625 × 2 - 1) × π
    0.5350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68085944827765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28129373} λ = -0.28129373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68085944827765))-π/2
    2×atan(5.37016937116537)-π/2
    2×1.38669111958878-π/2
    2.77338223917756-1.57079632675     		φ = 1.20258591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28129373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.116944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20258591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.903097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14917 KachelY 7618 -0.28129373 1.20258591 -16.116944 68.903097
    Oben rechts KachelX + 1 14918 KachelY 7618 -0.28110198 1.20258591 -16.105957 68.903097
    Unten links KachelX 14917 KachelY + 1 7619 -0.28129373 1.20251689 -16.116944 68.899143
    Unten rechts KachelX + 1 14918 KachelY + 1 7619 -0.28110198 1.20251689 -16.105957 68.899143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20258591-1.20251689) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dl = 439.726419999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20258591-1.20251689) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dr = 439.726419999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28129373--0.28110198) × cos(1.20258591) × R
    0.000191750000000046 × 0.359946376440095 × 6371000     		do = 439.724621354601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28129373--0.28110198) × cos(1.20251689) × R
    0.000191750000000046 × 0.360010769378687 × 6371000     		du = 439.803286295807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20258591)-sin(1.20251689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359946376440095-0.360010769378687)×R²
    abs(-0.28110198--0.28129373)×6.43929385921171e-05×R²
    0.000191750000000046×6.43929385921171e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.43929385921171e-05×40589641000000     		ar = 193375.829137253m²